Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．

Answer 1

【答案】解：CN=MN+BM
证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，
在△MBD和△ECD中， ，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，
又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，
∴∠MDN=∠EDN，
在△MND与△END中，
，
∴△MND≌△END（SAS），
∴MN=NE，
∴CN=NE+CE=MN+BM．

【解析】先求证△MBD≌△ECD可得MD=DE，∠MDB=∠EDC，进而求证△MND≌△END，即可得MN=NE，即可证明CN=NE+CE=MN+BM，即可解题．
【考点精析】关于本题考查的等边三角形的性质，需要了解等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°才能得出正确答案．