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【题目】如图,在等腰与等腰,连接相交于点,交于点,交与点.下列结论:①;②;③平分;④若,则.其中一定正确的结论的个数是( )

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

①比较好判断,证明△ABD≌△ACE即可;②错误,用8字模型可求出∠BPE=180°-;③也好判断,全等三角形面积相等,且底边也相等,推出高也相等,利用角平分线的判断定理即可;④构造全等三角形,利用30°角所对的直角边等于斜边的一半转化求解即可.

∵∠BAC=DAE=

∴∠BAC+CAD=DAE+CAD,即∠BAD=CAE

AB=ACAE=AD

∴△ABD≌△ACE

BD=CE,故①正确.

∵∠EPD+ADB+PND=180°=AEC+ANE+DAE,∠AEC=ADB,∠PND=ANE

∴∠EPD=DAE=

∵∠BPE=180°-EPD

∴∠BPE=180°-,故②错误.

∵全等三角形面积相等,且BD=CE,如图所示,从A点分别作高可知,h1=h2

AP平分∠BPE,故③正确.

如图所示,从E点引垂线交APBDKG两点.

=60°

∴由②③可知∠KPE=EPG=60°,

EK=EG

∵∠PAD=PED

∴∠PAD+60°=PED+60°,即∠EDG=EAK

∴△AKE≌△DGE

AK=DG

∵∠PEG=90°-60°=30°

KP=PG=PE

PE=AP+PD,故④正确.

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