Question

半径为R的圆的外切正三角形和内接正六边形的面积比为

 

．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：外切正三角形的半径、边心距，边的一半正好组成含30度角的直角三角形，内接正六边形的半径、边心距、边的一半也正好组成含30度角的直角三角形，再进行计算即可．

解答：解：∵正三角形的内切圆半径为R，
∴外切正三角形的半径为2R，外切正三角形的边心距R，外切正三角形的边的一半

3

R，
∴外切正三角形的边长为2

3

R，
∴外切正三角形的面积=

1

2

•2

3

R•3R=3

3

R²，
∵圆内接正六边形的边长等于R，
∴边心距=

3

2

R，边的一半=

1

2

R，
∴圆内接正六边形的面积=

1

2

•R•

3

2

R×6=

3 3

2

R²，
∴半径为R的圆的外切正三角形和内接正六边形的面积比为3

3

R²：

3 3

2

R²=2：1．
故答案为2：1．

点评：本题考查了正多边形和圆，计算正三角形的边长、半径、面积，正六边形的边长、半径面积是解题的关键．