Question

17．某公司主要生产和销售A产品，每件产品的成本为200元，销售单价为260元，顾客一次购买A产品不超过10件，每件销售为260元；若一次购买A型产品多于10件，则每多一件，所购买的全部产品的销售单价均降低2元，但销售单价均不低于224元．
（1）顾客一次购买A产品多少件时，销售单价恰好为224元？
（2）某次交易中，小张一次性购买A产品x件，公司盈利792元，求本次交易中小张购买产品的件数．
（3）进入冬季，公司举行“情系山区，你我共同送温暖”的公益促销活动，活动规定：在原定价格的基础上每件均优惠5元，若一次购买A型产品不超过10件，则每销售一件产品公司捐款5元；若一次购买A型产品超过10件，则每售出一件产品公司捐款a元，此外再一次性捐款100元，受活动影响，每位顾客购买件数x均满足10＜x≤17，为使顾客一次购买的数量越多，公司在该次交易中所获得的利润越大，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低2元，得出260-2（x-10）=224求出即可；
（2）根据利润关系式，列出一元二次方程，求出件数；
（3）由于此次购买数量大于10件，根据已知，设利润为y，根据条件列出二次函数关系式，利用对称轴性质求出a的取值范围．

解答 解：（1）设商家一次购买该产品x件时，销售单价恰好为224元．
260-2（x-10）=224，
解得：x=28；
答：顾客一次购买A产品28件时，销售单价恰好为224元．

（2）设本次交易中小张购买产品的件数是x，
∵792＞（260-200）×10，
∴x＞10，
根据题意得：[260-2（x-10）-200]x=792，
解得：x₁=22，x₂=18，
∴本次交易中小张购买产品的件数是22件或18件；

（3）设公司获利为y，则y=[260-2（x-10）-5-a-200]x-100，
即y=-2x²+（75-a）x-100，对称轴x=-$\frac{75-a}{-4}$=$\frac{75-a}{4}$，
∵顾客一次购买的数量越多，公司在该次交易中所获得的利润越大，
$\frac{75-a}{4}$≥17
解得：a≤7，
∴a的取值范围为：0≤a≤7．

点评 此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值问题，根据已知建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．