Question

19．如图，△ABC中，∠C=90?，AD平分∠BAC，∠ADB=120°，AD=$2\sqrt{3}$．求AB的长．

Answer 1

分析 由AD平分∠BAC、∠ADB=120°知∠DAC=∠BAD=30°、CD=$\frac{1}{2}AD$=$\sqrt{3}$，由∠DBA=∠DAB=30°知BD=AD=$2\sqrt{3}$，根据sin60°=$\frac{AC}{AD}$得AC的长，从而可得AB=2AC=6．

解答 解：∵∠ADB=120°，
∴∠ADC=60°，∠DAC=30°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAD=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}AD$=$\sqrt{3}$，
∴∠DBA=∠DAB=30°，
∴BD=AD=$2\sqrt{3}$，
∵sin60°=$\frac{AC}{AD}$，
∴$\frac{AC}{{2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴AC=3，
∵∠DBA=30°，
∴AB=2AC=6．

点评 本题主要考查角平分线的性质、解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义及角平分线的性质得出角的度数是解题的关键．