Question

18．已知圆内接正三角形面积为$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$cm²，求这个圆的半径．

Answer 1

分析 利用三角形半径和边心距的关系，求出半径和边心距及三角形的高的比，根据比例设出边心距，再表示出三角形的高，即可列方程解答．

解答 解：如图，
O为△ABC的中心，
AD为△ABC的边BC上的高，
则OD为边心距，
∴∠BAD=30°，
又∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAD=30°，
∴∠OBD=60°-30°=30°，
在Rt△OBD中，
BO=2DO，
即AO=2DO，
∴OD：OA：AD=1：2：3．
在正△ABC中，AD是高，设BD=x，则AD=BD•tan60°=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$x．
∵正三角形ABC面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$cm²，
∴$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$×2x•$\sqrt{3}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则AD=$\frac{3}{2}$，
∵OD：OA：AD=1：2：3，
∴AO=1，
∴这个圆的半径为1．

点评 本题考查了圆的内接三角形和外切三角形，根据正三角形的性质和三角函数，求出半径和边心距的长是解题的关键．