Question

9．若X=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{20}$，Y=3$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$，Z=$\sqrt{6}$+2$\sqrt{7}$，则（　　）

• A． X最小
• B． Y最小
• C． Z最小
• D． X、Y、Z一样大

Answer 1

分析 利用完全平方值的比较方法，将Y，Z平方，可以比较Y、Z的大小，将Z，X平方，可以比较Z、X的大小．

解答 解：∵Y²=（3$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$）²=27+2$\sqrt{189}$+7=34+2$\sqrt{189}$，
Z²=（$\sqrt{6}$+2$\sqrt{7}$）²=6+2$\sqrt{168}$+28=34+$\sqrt{168}$，
∴Y²＞Z²，
∵Y＞0，Z＞0，
∴Y＞Z，
∵Z²═（$\sqrt{6}$+2$\sqrt{7}$）²=6+2$\sqrt{168}$+28=34+$\sqrt{168}$=34+4$\sqrt{42}$，
X²=（2$\sqrt{2}$+$\sqrt{20}$）²=8+4$\sqrt{40}$+20=28+4$\sqrt{40}$，
∴Z²＞X²，
∵Z＞0，X＞0，
∴Z＞X，
∴Y＞Z＞X．
故选A．

点评 题目考查无理数的大小比较，利用平方法可以将无理数进行适当化简，进而比较大小．另外，由于本题是选择题，可以适当记住几个特殊无理数的近似值，例如$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{5}$≈2.236，利用特殊值可以简化很多运算．