【题目】如图,矩形ABCD中,AC=2AB,将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′,使点B的对应点B'落在AC上,B'C'交AD于点E,在B'C′上取点F,使B'F=AB.
(1)求证:AE=C′E.
(2)求∠FBB'的度数.
(3)已知AB=2,求BF的长.
【答案】(1)证明见解析(2)∠FBB′=15°;(3)+
【解析】
(1)在直角三角形ABC中,由AC=2AB,得到∠ACB=30°,再由旋转的性质得到∠B′AC=∠BAC=60°,利用等角对等边即可得证;
(2)由(1)得到△ABB′为等边三角形,进而得到∠BB′F=150°,BB′=B′F,再由等边对等角,即可求出所求角度数;
(3)连接AF,过A作AM⊥BF,可得△AB′F是等腰直角三角形,△AB′B为等边三角形,分别利用三角函数定义求出MF与AM,根据AM=BM,即BM+MF=BF即可求出.
(1)∵在Rt△ABC中,AC=2AB,∴∠ACB=∠AC′B′=30°,∠BAC=60°,由旋转可得:AB′=AB,∠B′AC=∠BAC=60°,∴∠EAC′=∠AC′B′=30°,∴AE=C′E;
(2)由(1)得到△ABB′为等边三角形,∴∠AB′B=60°,AB′=AB,∴∠BB′F=150°,BB′=B′F,∴∠FBB′=15°;
(3)连接AF,过A作AM⊥BF,由(2)可得△AB′F是等腰直角三角形,△AB′B为等边三角形,∴∠AFB′=45°,∠AFM=30°,∠ABB′=60°.
∵∠FBB′=15°,∴∠ABF=45°.在Rt△AMF中,AM=BM=ABcos∠ABM=2×=.在Rt△AMF中,MF===,则BF=+.
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【题目】在一个钝角三角形中,如果一个角是另一个角的3倍,这样的三角形我们称之为“智慧三角形”.如,三个内角分别为120°,40°,20°的三角形是“智慧三角形”.如图,∠MON=60°,在射线OM上找一点A,过点A作AB⊥OM交ON于点B,以A为端点作射线AD,交射线OB于点C.
(1)∠ABO的度数为_____°,△AOB_____(填“是”或“不是”) “智慧三角形”;
(2)若∠OAC=20°,求证:△AOC为“智慧三角形”;
(3)当△ABC为“智慧三角形”时,求∠OAC的度数.
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【题目】A、B两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行,s(千米)表示汽车与甲地的距离,t(分)表示汽车行驶的时间,如图,L1,L2分别表示两辆汽车的s与t的关系.
(1)L1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系?
(2)汽车B的速度是多少?
(3)求L1,L2分别表示的两辆汽车的s与t的关系式.
(4)2小时后,两车相距多少千米?
(5)行驶多长时间后,A、B两车相遇?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,CD平分∠ACB.
(1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线l;
(要求:保留作图痕迹,不写作法)
(2)记直线l与AB,CD的交点分别是点E,F.当AC=4时,求EF的长.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,AC绕点C顺时针旋转60°至CD,F是CD的中点,连接BF交AC于点E,连接AD.
求证:(1)AC=BF;
(2)四边形ABFD是平行四边形.
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【题目】如图所示,一个四边形纸片ABCD,∠B=∠D=90°,把纸片按如图所示折叠,使点B落在AD边上的B'点,AE是折痕。
(1)试判断B'E与DC的位置关系并说明理由。
(2)如果∠C=130°,求∠AEB的度数。
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【题目】如图1,直线l:y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣1),抛物线y=x2+bx+c经过点B,与直线l的另一个交点为C(4,n).
(1)求n的值和抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线上,DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2),设点D的横坐标为t(0<t<4),矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;
(3)将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“落点”,请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标.
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【题目】图1是水滴进玻璃容器的示意图(滴水速度不变),图2是容器中水高度随滴水时间变化的图象.
给出下列对应:(1):(a)--(e),(2):(b)--(f),(3):(c)--(h),(4):(d)--(g),其中正确的是( )
A.(1)和(2)B.(2)和(3)C.(1)和(3)D.(3)和(4)
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【题目】如图,在长方形纸片ABCD中,AB=3,AD=9,折叠纸片ABCD,使顶点C落在边AD上的点G处,折痕分别交边AD、BC于点E、F,则△GEF的面积最大值是_____.
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