Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AC绕点C顺时针旋转60°至CD，F是CD的中点，连接BF交AC于点E，连接AD．

求证：（1）AC=BF；

（2）四边形ABFD是平行四边形．

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

（1）连接AF，由旋转的旋转得到AC=DC，∠ACD=60°，进而△ACD是等边三角形，再证四边形ADCF是矩形，根据矩形的对角线相等即可得到AC=BF．

（2）根据△ACD是等边三角形，得到AC=AD，进一步证明AD=BF，再证明AB=DF，即可得到四边形ABFD是平行四边形．

（1）如图，连接AF．

∵AC绕点C顺时针旋转60°至CD，∴AC=DC，∠ACD=60°，∴△ACD是等边三角形．

∵F是CD的中点，∴AF⊥CD，∴∠AFC=90°．

∵在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠ACD=30°．

∵∠ACD=60°，∴∠BCD=90°．

又∵∠ADC=90°，∴四边形ADCF是矩形，∴AC=BF．

（2）∵△ACD是等边三角形，∴AC=AD．

∵AC=BF，∴AD=BF．

∵四边形ABCF是矩形，∴AB=CF．

∵F是CD的中点，∴DF=CF，∴AB=DF，∴四边形ABFD是平行四边形．