Question

【题目】问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°则：AC=AB．
（1）如图1，连接AB边上中线CF，试说明△ACF为等边三角形；
（2）如图2，在（1）的条件下，点D是边CB延长线上一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE，EF．试说明EF⊥AB.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；

【解析】

（1）根据三角形内角和定理得到∠A=60°，根据等边三角形的判定定理证明；
（2）证明△CAD≌△FAE，根据全等三角形的性质得到∠EFA=∠BCA=90°，根据垂直的定义证明；

（1）证明：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=60°，
∵CF=AB=AF，∠A=60°，
∴△ACF为等边三角形；
（2）证明：∵△ACF为等边三角形，
∴AC=AF，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE，∠DAE=60°，
∴∠CAB+∠BAD=∠DAE+∠BAD，即∠CAD=∠BAE，
在△CAD和△FAE中，
，

∴△CAD≌△FAE（SAS），
∴∠EFA=∠BCA=90°，即EF⊥AB；