Question

【题目】如图所示，在ΔABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为点D、M，分别交BC于点E、N,且DE和MN交于点F.

(1)若∠B=24°，求∠BAE的度数.

(2)若AB=8，AC=11，思考ΔAEN的周长肯定小于多少？

(3)若∠EAN=40°，求∠F的度数.

Answer 1

【答案】（1）24°；（2）△AEN的周长肯定小于19；（3）70°.

【解析】

（1）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求出结果；

（2）先根据线段垂直平分线的性质得出△AEN的周长=BC的长，再根据三角形的三边关系即可得出答案；

（3）根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，AN=CN，又由等边对等角，即可得∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，然后由三角形内角和定理，即可求得∠BAE+∠CAN的度数，然后由四边形的内角和等于360°即可求得∠F的度数；

解：（1）∵DE是边AB的垂直平分线，∴EA=EB，∴∠BAE=∠B=24°；

（2）∵MN是边AC的垂直平分线，∴NA=NC，

∴△AEN的周长=AE+EN+NA=BE+EN+NC=BC，

∵AC－AB<BC<AC+AB，∴3<BC<19，∴△AEN的周长肯定小于19；

（3）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，

∴AE=BE，AN=CN，

∴∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，

∵∠EAN=40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C=180°，

∴∠BAE+∠CAN=70°，

∴∠BAC=∠BAE+∠CAN+∠EAN=110°，

∵∠ADF=∠AMF=90°，

∴∠F=360°－∠ADF－∠AMF－∠BAC=360°－90°－90°－110°=70°；