Question

如图1，已知正方形ABCD边长为1，点Q为BC延长线上的一个动点，QA与CD、BD分别交于点P、E．
（1）当CQ=

5

4

时，求

QE

QA

的值；
（2）如图2，如果对角线AC与BD相交于点O，联结QO，交CD于点F，设CQ=x，S_△EOQ=y，求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，△DEP能否与△DBQ相似，若能请求出x的值，若不能请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）先求出BQ，再根据AD∥BQ得出

AE

QE

=

AD

BQ

=

4

9

，即可求出

QE

QA

；
（2）作QH⊥BD，垂足为点H，根据∠DBQ=45°，得出QH=

2

2

（1+x），根据AD∥BQ，得出

DE

EB

=

AD

BQ

，再求出DE=

2

2+x

，根据OD=

1

2

BD=

2

2

，求出OE，最后根据y=

1

2

OE•QH代入整理即可；
（3）先求出∠EDP=∠DBQ=45°，再根据若∠DEP=∠BDQ，则△DEP∽△BDQ，再求出∠AQC=∠1=∠2，证出△DAP≌△CQD，得出PC=1-x，再根据△ADP∽△QCP，得到

AD

DP

=

CQ

PC

，得出

1

x

=

x

1-x

即可求出x的值．

解答：解：（1）∵CQ=

5

4

，
∴BQ=BC+CQ=1+

5

4

=

9

4

，
∵AD∥BQ，
∴

AE

QE

=

AD

BQ

=

4

9

，
∴

QE

QA

=

9

13

；

（2）作QH⊥BD，垂足为点H，
∵ABCD是正方形，
∴∠DBQ=45°，
在Rt△BQH中，QH=BQsin∠DBQ=

2

2

（1+x），
∵AD∥BQ，
∴

DE

EB

=

AD

BQ

，
∵BD=

2

，
∴DE=

2

2+x

，
∵OD=

1

2

BD=

2

2

，
∴OE=OD-DE=

2

2

-

2

2+x

=

2 x

2(2+x)

，
∴y=

1

2

OE•QH=

1

2

×

2

2

（1+x）×

2 x

2(2+x)

=

x(1+x)

4(2+x)

（x＞0）；

（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDP=∠DBQ=45°，
若∠DEP=∠BDQ，则△DEP∽△BDQ，∵∠DEP=∠DBQ+∠AQC，∠BDQ=∠BDC+∠1，
∴∠AQC=∠1=∠2，
在△DAP和△CQD中，

∠2=∠AQC AD=QC ∠ADP=∠DCQ

，
∴△DAP≌△CQD（ASA），
∴DP=CQ=x，
∴PC=1-x，
∵△ADP∽△QCP，
∴

AD

DP

=

CQ

PC

，
∴

1

x

=

x

1-x

，
解得：x₁=

-1+ 5

2

，x₂=

-1- 5

2

（舍去），
∴x的值是

-1+ 5

2

．

点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形和全等三角形的判定与性质，关键是根据题意作出辅助线，找出相似的三角形．