Question

求如图，已知点A（-4，0）和点B（6，0），第三象限内有一点P，它的横坐标为-2，并且满足条件tan∠PAB•tan∠PBA=1．
（1）求证：△PAB是直角三角形；
（2）求过P、A、B三个点的抛物线的表达式，并求顶点坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）过点P作PC⊥AB于C，根据锐角三角函数的正切值的定义列式整理可得

PC

AC

=

BC

PC

，然后求出△ACP和△PCB相似，根据相似三角形对应角相等可得∠PAC=∠BPC，再求出∠APB=90°，然后根据直角三角形的定义证明即可；
（2）根据点A、B的坐标和点P的横坐标求出AC、BC，再求出PC，然后写出点P的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可．

解答：（1）证明：如图，过点P作PC⊥AB于C，
∵tan∠PAB•tan∠PBA=1，
∴

PC

AC

•

PC

BC

=1，
∴

PC

AC

=

BC

PC

，
又∵∠ACP=PCB=90°，
∴△ACP∽△PCB，
∴∠PAC=∠BPC，
∵∠PAC+∠APC=90°，
∴∠BPC+∠APC=90°，
即∠APB=90°，
∴△PAB是直角三角形；

（2）解：∵点A（-4，0），点B（6，0），点P的横坐标为-2，
∴AC=-2-（-4）=-2+4=2，
BC=6-（-2）=6+2=8，
∴

PC

2

•

PC

8

=1，
解得PC=4，
∴点P的坐标为（-2，-4），
设过P、A、B三个点的抛物线的表达式为y=a（x+4）（x-6），
将点P的坐标代入得，a（-2+4）（-2-6）=-4，
解得a=

1

4

，
所以，y=

1

4

（x+4）（x-6）=

1

4

（x²-2x-24）=

1

4

x²-

1

2

x-6，
所以，抛物线解析式为y=

1

4

x²-

1

2

x-6；
∵y=

1

4

x²-

1

2

x-6=

1

4

（x²-2x+1）-

1

4

-6=

1

4

（x-1）²-

25

4

，
∴顶点坐标为（1，-

25

4

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，（1）作辅助线构造出相似三角形并列出锐角的正切是解题的关键，（2）利用交点式解析式求解更简便．