Question

如图，y=kx+b的图象过点P（1，4），且与x轴、y轴的正半轴交于A、B，原点为O，问k、b为何值时，△AOB的面积最小？

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值

专题：

分析：由条件可用k和b分别表示出OA和OB，从而表示出△OAB的面积，由条件得到k+b=4，代入消去b，再利用基本不等式求得其最小值．

解答：解：
令y=0可得x=-

b

k

，令x=0可得y=b，
∴OA=-

b

k

，OB=b，
∵图象过点P（1，4），
∴k+b=4，即b=4-k，
∴S_△AOB=

1

2

OA•OB=-

b2

2k

=-

(4-k)2

2k

=-

8

k

-

k

2

+4，
由题知k＜0，=-

8

k

＞0，-

k

2

＞0，且（-

8

k

）×（-

k

2

）=4，
∴=-

8

k

-

k

2

≥2

(- 8 k )×(- k 2 )

=4，
∴=-

8

k

-

k

2

+4≥4+4=8，
∴S_△AOB≥8，
∴△AOB面积的最小值为8．

点评：本题主要考查一次函数图象上点的特征及基本不等式的应用，由条件用k或b表示出△AOB的面积是解题的关键．