Question

3．如图，⊙O经过?ABCD的三个顶点A，B，C，且圆心O在DC的延长线上，∠D=30°，AD=6$\sqrt{3}$cm．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）求⊙O与?ABCD重叠部分（阴影部分）的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据平行四边形的性质得∠B=∠D=30°，再根据圆周角定理得到∠AOD=2∠B=60°，则利用三角形内角和定理可得∠OAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AD是⊙O的切线；
（2）OA与BC相交于E，如图，由平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC=6$\sqrt{3}$，则OA⊥BC，∠OCE=∠D=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系计算出BE=CE=3$\sqrt{3}$，OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CE=3，OC=2OE=6，所以AE=OE=3，于是可判断S_△ABE=S_△OCE，所以S_阴影部分=S_扇形AOC，然后根据扇形面积公式计算．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D=30°，
∴∠AOD=2∠B=60°，
∴∠OAD=180°-∠D-∠AOD=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：OA与BC相交于E，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6$\sqrt{3}$，
而OA⊥AD，
∴OA⊥BC，∠OCE=∠D=30°，
∴BE=CE=3$\sqrt{3}$，OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CE=3，OC=2OE=6，
∴AE=OE=3，
∴S_△ABE=S_△OCE，
∴S_阴影部分=S_扇形AOC=$\frac{60•π•{6}^{2}}{360}$=6π．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了平行线的性质和扇形面积的计算．