Question

4．如图所示，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，△QAP的面积为8cm²？
（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）若△QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP，即6-t=2t，解得t即可；
（2）若△QAP的面积为8cm²，利用三角形的面积公式则有S_△QAP=$\frac{1}{2}×2t×（6-t）$=8，解得t即可；
（3）若以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况讨论：①当∠AQP=∠BAC时，△AQP∽△BAC，利用相似三角形的性质，则有$\frac{AQ}{BA}=\frac{AP}{BC}$，即$\frac{6-t}{12}=\frac{2t}{6}$，解得t；②当∠AQP=∠BCA时，△AQP∽△BAC，则有$\frac{AQ}{BC}=\frac{AP}{BA}$，即$\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{12}$，解得t．

解答 解：（1）∵△QAP为等腰直角三角形，
∴AQ=AP，
∵AP=2t，AQ=6-t，
∴6-t=2t，解得：t=2，
∴当t=2时，△QAP为等腰直角三角形；

（2）∵AP=2t，AQ=6-t，
∴S_△QAP=$\frac{1}{2}×2t×（6-t）$=8，解得：t₁=4，t₂=2，
∴当t=4s或2s时，△QAP的面积为8cm²；

（3）①当∠AQP=∠BAC时，△AQP∽△BAC，
则有$\frac{AQ}{BA}=\frac{AP}{BC}$，
∴$\frac{6-t}{12}=\frac{2t}{6}$，
解得：t=$\frac{6}{5}$；
②当∠AQP=∠BCA时，△AQP∽△BAC，
则有$\frac{AQ}{BC}=\frac{AP}{BA}$，
∴$\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{12}$，
解得：t=3，
综上所述，当t=$\frac{6}{5}$s或3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

点评 本题主要考查了动点问题，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质及判定，分类讨论是解答此题的关键．