如图.在Rt△ABC中.∠BAC=90°.AB＜AC.D是BC边中点.DE⊥BC交AC于E.动点P从点B出发沿射线BA以每秒$\sqrt{3}$厘米的速度运动.同时动点F从点E出发沿射线EC运动.且保持PD⊥DF．设运动时间为t秒．(1)△PBD与△FED相似吗?以图1为例说明理由,(2)若∠ABC=60°.$AB=4\sqrt{3}$厘米．①求动点F的速度,②设Rt△APF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，D是BC边中点，DE⊥BC交AC于E，动点P从点B出发沿射线BA以每秒$\sqrt{3}$厘米的速度运动，同时动点F从点E出发沿射线EC运动，且保持PD⊥DF．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）△PBD与△FED相似吗？以图1为例说明理由；
（2）若∠ABC=60°，$AB=4\sqrt{3}$厘米．
①求动点F的速度；
②设Rt△APF的面积为S平方厘米，求S与t的函数关系式；
（3）写出BP²、PF²、CF²三者之间的数量关系，并以图1为例说明理由．

分析（1）通过垂直的定义、直角三角形中的两个锐角互余以及等量代换，可以证得△PBM与△QNM中的两个角对应相等，所以这两个三角形一定相似；
（2）①若BP=3，根据△PBD∽△FEM的对应边成比例可以求得EF的长，即F一分钟移动的距离，即点F的速度；
②分别用时间t表示出AP，AF的长，根据直角三角形的面积即可求得函数解析式．注意需要分类讨论：当0＜t＜4时，AP=AB-BP=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，AF=AE+EF=AC-EC+EF=12-8+t=4+t，然后由三角形的面积公式可以求得该函数关系式；当t≥4时，AP=$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$，AF=4+t，然后由三角形的面积公式可以求得该函数关系式；
（3）PF²=BP²+CF²．作辅助线延长FD至点G，使DG=DF．连接PG、BG构建平行四边形BGCF．根据平行四边形的对边平行且相等推知BG∥CF，BG=CF；然后在直角三角形BPG中利用勾股定理求得PG²=BP²+BG²=BP²+CF²；最后利用线段垂直平分线的性质知PF=PG，所以由等量代换证得该结论．

解答解：（1）△PBD∽△FED．理由如下：
如图1，∵DF⊥DP，ME⊥BC（已知），
∴∠PDB+∠PDE=90°，∠FDE+∠PDE=90°，
∴∠PDB=∠FDE，
∵∠PBD+∠C=90°，∠FED+∠C=90°，
∴∠PBD=∠FED，
∴△PBD∽△FED；

（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴BC=2AB=8$\sqrt{3}$cm．
又∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD=4$\sqrt{3}$cm．
∵∠C=30°，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CD=4cm；
①设Q点的运动速度为vcm/s．
如图1，当0＜t＜4时，由（1）知△PBD∽△FED，
∴$\frac{EF}{BP}$=$\frac{DE}{DB}$，即$\frac{vt}{\sqrt{3}t}$=$\frac{4}{4\sqrt{3}}$，
∴v=1；
如图2，当t≥4时，同理可得v=1．
综上所述，Q点运动速度为1cm/s．
②∵AE=AC-EC=12-8=4cm，
∴如图1，当0＜t＜4时，AP=AB-BP=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，AF=AE+EF=AC-EC+EF=12-8+t=4+t，
∴S=$\frac{1}{2}$AP•AF=$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）（4+t）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+8$\sqrt{3}$；
如图2，当t≥4时，AP=$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$，AQ=4+t，
∴S=$\frac{1}{2}$AP•AQ=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$）（4+t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-8$\sqrt{3}$；
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+8\sqrt{3}（0＜t＜4）}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}-8\sqrt{3}（t≥4）}\end{array}\right.$；

（3）PF²=BP²+CF²．
证明如下：如图1，延长FD至点G，使DG=DF．连接PG、BG，BF，CG
∵BC、GF互相平分，
∴四边形BGCF为平行四边形，
∴BG∥CF，BG=CF（平行四边形的对边平行且相等）；
又∵∠BAC=90°，
∴∠PBG=90°，
∴PG²=BP²+BG²=BP²+CF²，
∵PD垂直平分GF，
∴PF=PG，
∴PF²=BP²+CF²．

点评本题考查了相似三角形的判定与性质，以及相似三角形与函数的综合应用，利用时间t正确表示出题目中线段的长度是解题的关键．

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（2）如图（3），若三角形内有竖立排列的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为$\frac{20}{29}$．
猜想与证明：如图（4），若三角形内有竖立排列的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．