Question

9．如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．
（1）若BK=KC，求$\frac{CD}{AB}$的值．
（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=$\frac{1}{2}$AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明；
（3）再探究：当AE=$\frac{1}{n}$AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．

Answer 1

分析 （1）由已知得BK=KC，由CD∥AB可证△KCD∽△KBA，利用$\frac{CD}{AB}$=$\frac{CK}{BK}$求值；
（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，则EG=BG=$\frac{1}{2}$BC，而GF=$\frac{1}{2}$CD，EF=$\frac{1}{2}$AB，利用EF=EG+GF求线段AB、BC、CD三者之间的数量关系；
（3）当AE=$\frac{1}{n}$AD（n＞2）时，EG=BG=$\frac{1}{n}$BC，而GF=$\frac{1}{n}$CD，EF=$\frac{n-1}{n}$AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n-1）AB．

解答 解：（1）∵BK=KC，
∴$\frac{CK}{BK}$=1，
又∵CD∥AB，
∴△KCD∽△KBA，
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{CK}{BK}$=1；

（2）当BE平分∠ABC，AE=$\frac{1}{2}$AD时，AB=BC+CD；
证明：取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，
由中位线定理，得EF∥AB∥CD，
∴G为BC的中点，∠GEB=∠EBA，
又∵∠EBA=∠GBE，
∴∠GEB=∠GBE，
∴EG=BG=$\frac{1}{2}$BC，而GF=$\frac{1}{2}$CD，EF=$\frac{1}{2}$AB，
∵EF=EG+GF，
即：$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC+$\frac{1}{2}$CD；
∴AB=BC+CD；

（3）由（2）同理可得：当AE=$\frac{1}{n}$AD（n＞2）时，EF∥AB，
同理可得：$\frac{BG}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{n}$，则BG=$\frac{1}{n}$•BC，则EG=BG=$\frac{1}{n}$•BC，
$\frac{GF}{CD}$=$\frac{BG}{BC}$=$\frac{1}{n}$，则GF=$\frac{1}{n}$•CD，$\frac{EF}{AB}$=$\frac{ED}{AD}$=$\frac{n-1}{n}$，
∴$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n}$•CD=$\frac{n-1}{n}$•AB，
∴BC+CD=（n-1）AB，
故当AE=$\frac{1}{n}$AD（n＞2）时，BC+CD=（n-1）AB．

点评 本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线构造平行线利用三角形的中位线定理解决问题是解题的关键．