已知.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示.A点坐标为.点D为BC的中点.点E为线段AB上一动点.连接DE经过点A.B.C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．(1)求抛物线的解析式,(2)如图①.将△BDE以DE为轴翻折.点B的对称点为点G.当点G恰好落在抛物线的对称轴上时.求G点的坐标,(3)如图②.当点E在线段AB上运动时.抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（-6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；
（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax²+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据抛物线y=ax²+bx+8经过点A（-6，0），B（4，0），应用待定系数法，求出抛物线的解析式即可．
（2）首先作DM⊥抛物线的对称轴于点M，设G点的坐标为（-1，n），根据翻折的性质，可得BD=DG；然后分别求出点D、点M的坐标各是多少，以及BC、BD的值各是多少；最后在Rt△GDM中，根据勾股定理，求出n的值，即可求出G点的坐标．
（3）根据题意，分三种情况：①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时；②当CD∥EF，且点E在x轴的负半轴时；③当CE∥DF时；然后根据平行四边形的性质，求出点F的坐标各是多少即可．

解答解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+8经过点A（-6，0），B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+8=0}\\{16a+4b+8=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式是：y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8．

（2）如图①，作DM⊥抛物线的对称轴于点M，，
设G点的坐标为（-1，n），
由翻折的性质，可得BD=DG，
∵B（4，0），C（0，8），点D为BC的中点，
∴点D的坐标是（2，4），
∴点M的坐标是（-1，4），DM=2-（-1）=3，
∵B（4，0），C（0，8），
∴BC=$\sqrt{{4}^{2}{+8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴$BD=2\sqrt{5}$，
在Rt△GDM中，
3²+（4-n）²=20，
解得n=4±$\sqrt{11}$，
∴G点的坐标为（-1，4+$\sqrt{11}$）或（-1，4-$\sqrt{11}$）．

（3）抛物线y=ax²+bx+8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形．
①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时，如图②，
由（2），可得点D的坐标是（2，4），
设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（-1，d），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0+c}{2}=\frac{-1+2}{2}}\\{\frac{8+0}{2}=\frac{d+4}{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{d=4}\end{array}\right.$
∴点F的坐标是（-1，4），点E的坐标是（1，0）．

②当CD∥EF，且点E在x轴的负半轴时，如图③，
由（2），可得点D的坐标是（2，4），
设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（-1，d），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0+（-1）}{2}=\frac{c+2}{2}}\\{\frac{8+d}{2}=\frac{0+4}{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{d=-4}\end{array}\right.$
∴点F的坐标是（-1，-4），点E的坐标是（-3，0）．

③当CE∥DF时，如图④，，
由（2），可得点D的坐标是（2，4），
设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（-1，d），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0+2}{2}=\frac{c+（-1）}{2}}\\{\frac{8+4}{2}=\frac{d+0}{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{d=12}\end{array}\right.$
∴点F的坐标是（-1，12），点E的坐标是（3，0）．
综上，可得
抛物线y=ax²+bx+8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
点F的坐标是（-1，4）、（-1，-4）或（-1，12）．

点评（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了平行四边形的性质和应用，以及待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握．
（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．

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