Question

2．如图，正方形A₁B₁P₁P₂的顶点P₁、P₂在反比例函数y=$\frac{2}{x}$ （x＞0）的图象上，顶点A₁、B₁分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P₂P₃ A₂B₂，顶点P₃在反比例函数y=$\frac{2}{x}$ （x＞0）的图象上，顶点A₂在x轴的正半轴上，则点P₃的坐标为（　　）

• A． （$\sqrt{3}+1$，$\sqrt{3}-1$）
• B． （$\sqrt{5}+1$，$\sqrt{5}-1$）
• C． （$\sqrt{3}-1$，$\sqrt{3}+1$）
• D． （$\sqrt{5}-1$，$\sqrt{5}+1$）

Answer 1

分析 作P₁C⊥y轴于C，P₂D⊥x轴于D，P₃E⊥x轴于E，P₃F⊥P₂D于F，设P₁（a，$\frac{2}{a}$），则CP₁=a，OC=$\frac{2}{a}$，易得Rt△P₁B₁C≌Rt△B₁A₁O≌Rt△A₁P₂D，则OB₁=P₁C=A₁D=a，所以OA₁=B₁C=P₂D=$\frac{2}{a}$-a，则P₂的坐标为（$\frac{2}{a}$，$\frac{2}{a}$-a），然后把P₂的坐标代入反比例函数y=$\frac{2}{x}$，得到a的方程，解方程求出a，得到P₂的坐标；设P₃的坐标为（b，$\frac{2}{b}$），易得Rt△P₂P₃F≌Rt△A₂P₃E，则P₃E=P₃F=DE=$\frac{2}{b}$，通过OE=OD+DE=2+$\frac{2}{b}$=b，这样得到关于b的方程，解方程求出b，得到P₃的坐标．

解答 解：作P₁C⊥y轴于C，P₂D⊥x轴于D，P₃E⊥x轴于E，P₃F⊥P₂D于F，如图所示：
设P₁（a，$\frac{2}{a}$），则CP₁=a，OC=$\frac{2}{a}$，
∵四边形A₁B₁P₁P₂为正方形，
∴∠A₁B₁P₁=90°，
∴∠CB₁P₁+∠OB₁A₁=90°，
∵∠CB₁P₁+∠CP₁B₁=90°，∠OB₁A₁+∠OA₁B₁=90°，
∴∠CB₁P₁=∠OA₁B₁，
在△P₁B₁C≌△B₁A₁O中，$\left\{\begin{array}{l}{∠{B}_{1}C{P}_{1}=∠{B}_{1}O{A}_{1}=90°}\\{∠O{B}_{1}{A}_{1}=∠C{P}_{1}{B}_{1}}\\{{B}_{1}{P}_{1}={A}_{1}{B}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△P₁B₁C≌△B₁A₁O（AAS），
同理：△B₁A₁O≌△A₁P₂D，
∴OB₁=P₁C=A₁D=a，
∴OA₁=B₁C=P₂D=$\frac{2}{a}$-a，
∴OD=a+$\frac{2}{a}$-a=$\frac{2}{a}$，
∴P₂的坐标为（$\frac{2}{a}$，$\frac{2}{a}$-a），
把P₂的坐标代入y=$\frac{2}{x}$（x＞0）得：（$\frac{2}{a}$-a）•$\frac{2}{a}$=2，
解得：a=-1（舍去）或a=1，
∴P₂（2，1），
设P₃的坐标为（b，$\frac{2}{b}$），
又∵四边形P₂P₃A₂B₂为正方形，
同上：△P₂P₃F≌△A₂P₃E，
∴P₃E=P₃F=DE，
∴OE=OD+DE=2+$\frac{2}{b}$，
∴2+$\frac{2}{b}$=b，
解得：b=1-$\sqrt{3}$（舍去），b=1+$\sqrt{3}$，
∴$\frac{2}{b}$=$\frac{2}{1+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-1，
∴点P₃的坐标为 （$\sqrt{3}$+1，$\sqrt{3}$-1）．
故选：A．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法．