已知:如图.在平面直角坐标系中.点A.C在y轴正半轴上.点B在 x轴负半轴上.且AO=OB=m.OC=n.满足m2-12m+36+(n-4)2=0．点P从点O出发.以每秒2个单位的速度沿x轴正半轴运动.设点P的运动时间为t秒．求:(1)填空m=6.n=4,(2)在点P的运动过程中.过点B作直线AP的垂线.交y轴于F.设△PCF的面积为S.请用含t的式子表示出S.并直接� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A、C在y轴正半轴上，点B在 x轴负半轴上，且AO=OB=m，OC=n，满足m²-12m+36+（n-4）²=0．点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴正半轴运动，设点P的运动时间为t秒．求：
（1）填空m=6，n=4；
（2）在点P的运动过程中，过点B作直线AP的垂线，交y轴于F，设△PCF的面积为S，请用含t的式子表示出S，并直接写出t的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，过点A作直线l，且l∥x轴，直线l上是否存在点Q，使△CPQ是等腰直角三角形？若存在，求出符合条件的t值，若不存在，说明理由．

分析（1）根据平方的非负性，得出m，n的值即可；
（2）先判定△BOF≌△AOP（AAS），得出OF=OP=2t，再分两种情况讨论：点F在OC上时；点F在OC的延长线上时，分别根据△PCF的面积=$\frac{1}{2}$×CF×OP，求得用含t的式子表示出S；
（3）使△CPQ是等腰直角三角形，需要分三种情况进行讨论：当CQ=CP，∠PCQ=90°时，△CPQ是等腰直角三角形；当CP=QP，∠CPQ=90°时，△CPQ是等腰直角三角形；当CQ=QP，∠CQP=90°时，△CPQ是等腰直角三角形，分别求得OP的长，最后根据点P的运动速度，计算t的值即可．

解答解：（1）∵m²-12m+36+（n-4）²=0，
∴（m-6）²+（n-4）²=0，
解得m=6，n=4，
故答案为：6，4；

（2）∵AO=OB=6，OC=4，∠BOF=90°，BF⊥AP于D，
∴∠OBF=∠OAP，∠BOF=∠AOP=90°，
∴△BOF≌△AOP（AAS），
∴OF=OP=2t，
①如图，当点F在OC上时，△PCF的面积=$\frac{1}{2}$×CF×OP，

即S=$\frac{1}{2}$×（4-2t）×2t=-2t²+4t（0≤t≤2）；
②如图，当点F在OC的延长线上时，△PCF的面积=$\frac{1}{2}$×CF×OP，

即S=$\frac{1}{2}$×（2t-4）×2t=2t²-4t（t＞2）；
综上所述，S=-2t²+4t（0≤t≤2）；S=2t²-4t（t＞2）；

（3）存在点Q使△CPQ是等腰直角三角形．
①如图所示，当CQ=CP，∠PCQ=90°时，△CPQ是等腰直角三角形，

此时，∠QAC=∠COP=90°，∠AQC=∠OCP，
∴△ACQ≌△POC（AAS），
∴OP=AC=6-4=2，
∴t=2÷2=1秒；
②如图所示，当CP=QP，∠CPQ=90°时，△CPQ是等腰直角三角形，

过点Q作QG⊥x轴于G，则
∠PGQ=∠COP=90°，∠GPQ=∠OCP，
∴△QGP≌△POC（AAS），
∴OP=QG=AO=6，
∴t=6÷2=3秒；
③如图所示，当CQ=QP，∠CQP=90°时，△CPQ是等腰直角三角形，

过点P作PH⊥l于H，则
∠PHQ=∠QAC=90°，∠HPQ=∠AQC，
∴△QHP≌△CAQ（AAS），
∴AQ=PH=AO=6，QH=AC=2，
∴OP=AH=2+6=8，
∴t=8÷2=4秒；
综上所述，当t的值为1或3或4秒时，△CPQ是等腰直角三角形．

点评本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形的面积计算的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形和直角三角形，解题时注意分类思想的运用，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．

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