Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠C，且点D、F分别在边AB、AC上．

（1）求证：△BDE∽△CEF；

（2）当点E移动到BC的中点时，求证：DE平分∠BDF.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠BDE=∠CEF，于是得到结论；

（2）由（1）可得，根据点E是BC的中点，则可化为，即可证：△DEF∽△ECF，则有△BDE∽△EDF，∠BDE=∠EDF，可得DE平分∠BDF．

解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C=∠DEF，
∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB，
∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB，

∴∠BDE=∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；

（2）∵△BDE∽△CEF，
∴，

∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，

∴

∵∠DEF=∠B=∠C，
∴△DEF∽△ECF，

∴△BDE∽△EDF，

∴∠BDE=∠EDF，
∴DE平分∠BDF．