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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,A,B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经过点A,C,B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线成为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,﹣ ),点M是抛物线C2:y=mx2﹣2mx﹣3m(m<0)的顶点.

(1)求A、B两点的坐标;
(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,求出△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:∵y=mx2﹣2mx﹣3m=m(x﹣3)(x+1),且m≠0,

∴当y=0时,可得m(x﹣3)(x+1)=0,解得x1=﹣1,x2=3,

∴A(﹣1,0),B(3,0);


(2)

解:设过A、B、C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,

则有 ,解得

∴抛物线C1解析式为y= x2﹣x﹣

如图,过点P作PQ∥y轴,交BC于Q,

设直线BC解析式为y=kx+s,则有 ,解得

∴直线BC的解析式为y= x﹣

设P(x, x2﹣x﹣ ),则Q(x, x﹣ ),

∴PQ= x﹣ ﹣( x2﹣x﹣ )=﹣ x2+ x,

∴SPBC= PQOB= ×(﹣ x2+ x)×3=﹣ (x﹣ 2+

∵﹣ <0,

∴当x= 时,SPBC有最大值,S最大=

×( 2 =﹣ ,此时P点坐标为( ,﹣ ).


【解析】(1)把抛物线解析整理,令y=0可求得x的值,则可求得A、B的坐标;(2)由A、B、C的坐标,可求得经过点A、B、C的抛物线解析式,连接BC、过点P作PQ∥y轴,交BC于点Q,由B、C的坐标可求得直线BC的解析式,则可设出P点坐标,从而表示出Q点坐标,则可求得PQ的长,从而用P点坐标表示出△PBC的面积,利用二次函数的性质可求得P点坐标和△PBC面积的最大值.
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.

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