【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,A,B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经过点A,C,B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线成为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,﹣ ),点M是抛物线C2:y=mx2﹣2mx﹣3m(m<0)的顶点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,求出△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵y=mx2﹣2mx﹣3m=m(x﹣3)(x+1),且m≠0,
∴当y=0时,可得m(x﹣3)(x+1)=0,解得x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0);
(2)
解:设过A、B、C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
则有 ,解得 ,
∴抛物线C1解析式为y= x2﹣x﹣ ,
如图,过点P作PQ∥y轴,交BC于Q,
设直线BC解析式为y=kx+s,则有 ,解得 ,
∴直线BC的解析式为y= x﹣ ,
设P(x, x2﹣x﹣ ),则Q(x, x﹣ ),
∴PQ= x﹣ ﹣( x2﹣x﹣ )=﹣ x2+ x,
∴S△PBC= PQOB= ×(﹣ x2+ x)×3=﹣ (x﹣ )2+ ,
∵﹣ <0,
∴当x= 时,S△PBC有最大值,S最大= ,
×( )2﹣ ﹣ =﹣ ,此时P点坐标为( ,﹣ ).
【解析】(1)把抛物线解析整理,令y=0可求得x的值,则可求得A、B的坐标;(2)由A、B、C的坐标,可求得经过点A、B、C的抛物线解析式,连接BC、过点P作PQ∥y轴,交BC于点Q,由B、C的坐标可求得直线BC的解析式,则可设出P点坐标,从而表示出Q点坐标,则可求得PQ的长,从而用P点坐标表示出△PBC的面积,利用二次函数的性质可求得P点坐标和△PBC面积的最大值.
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知矩形ABCD,点P为BC边上一动点,连接AP,将线段AP绕P点顺时针旋转90°,点A恰好落在直线CD上点E处.
(1)如图1,点E在线段CD上,求证:AD+DE=2AB;
(2)如图2,点E在线段CD的延长线上,且点D为线段CE的中点,在线段BD上取点F,连接AF、PF,若AF=AB.求证:∠APF=∠ADB.
(3)如图3,点E在线段CD上,连接BD,若AB=2,BD∥PE,则DE= . (直接写出结果)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图表示一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果输水管的半径为5cm,水面宽AB为8cm,则水的最大深度CD为( )
A.4cm
B.3cm
C.2cm
D.1cm
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】作图题.
(1)如图,在图①所给的方格纸中,每个小正方形的边长都是1,标号为①②③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格的顶点处),请按要求将图②中的指定图形分割成三个三角形,使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等(分割线画成实线);
(2)如图③,在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点都在小正方形的顶点上.
①在图中画出与关于直线成轴对称的;
②请在直线上找一点,使得的距离之和最小.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为 , 则图中阴影部分的面积是 .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,已知反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于两点M(4,m)和N(﹣2,﹣8),一次函数y=ax+b与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)求这两个函数的解析式;
(2)求△MON的面积;
(3)根据图象回答:当x取何值时,反比例函数的值大于一次函数的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,将半径为3cm,圆心角为60°的扇形纸片.AOB在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A′O′B′处,则顶点O经过的路线总长 cm(结果保留π).
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com