Question

如图，平面直角坐标系中，原点为O，点A、M的坐标分别为（0，8）、（3，4），AM的延长线交x轴于点B．点P为线段AO上的一个动点，点P从点O沿OA方向以1个单位/秒的速度向A运动，正方形PCEF边长为2（点C在y轴上，点E、F在y轴右侧）．设运动时间为t秒．

（1）正方形PCEF的对角线PE所在直线的函数表达式为

 

 （用含t的式子表示），若正方形PCEF的对角线PE所在直线恰好经过点M，则时间t为

 

秒．
（2）若正方形PCEF始终在△AOB内部运动，求t的范围．
（3）在条件（2）下，设△PEM的面积为y，求y与t的函数表达式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据直线PE平行于y=x，再根据P点坐标，可得函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，把点的坐标代入函数解析式，可得答案；
（2）根据E点坐标在直线AB的下方，可得t的取值范围；
（3）分类讨论，0≤t≤1时，根据直线PM与CE，可得E点坐标，根据两点间距离公式，可得EQ的长，根据三角形的面积公式，可得答案；1＜t≤

16

3

时，根据直线PM与EF，可得E点坐标，根据两点间距离公式，可得EQ的长，根据三角形的面积公式，可得答案．

解答：解：（1）y=x+t，1，
故答案为；y=x+t，1；
（2）设直线AM：y=kx+8，
将M（3，4）代入
k=-

4

3

，
∴直线AM：y=-

4

3

x+8，
将E（2，2+t）代入直线AM解析式得t=

10

3

∴0≤t≤

10

3

；
（3）①当0≤t≤1时，如图一，连接PM交CE于Q点，
∵P（0，t），M（3，4）
∴直线PM：y=

4-t

3

x+t
∴Q（

6

4-t

，2+t）
∴EQ=2-

6

4-t

=

2-2t

4-t

∴y=

1

2

×EQ×|y_M-y_P|=

1

2

×

2-2t

4-t

×(4-t)=1-t；
         
 ②当1＜t≤

10

3

时，如图二，连接PM交EF于Q点，
同①得，直线PM：y=

4-t

3

x+t

∴Q（2，

8+t

3

）
∴EQ=2+t-

8+t

3

=

2t-2

3

∴y=

1

2

×EQ×|x_M-x_P|=

1

2

×

2t-2

3

×3=t-1；
综上所述∴y=

1-t(0≤t≤1) t-1(1＜t≤ 10 3 )

．

点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用了平行线间的函数关系，（2）点与直线的关系，（3）三角形的面积和差是解题关键．