Question

12．已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC交AD于点E．经过B、E两点的⊙O交AB于点F，交BC于点G，BF恰为⊙O的直径．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若BC=4，cos $C=\frac{1}{3}$，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）连接OE；先证明OE∥BC，得出∠AEO=∠ADB，再证明AD⊥BC，得出∠AEO=90°，OE⊥AD，即可得出结论；
（2）先求出BD、AB，再证明△AOE∽△ABD，得出对应边成比例，即可求出半径．

解答 （1）证明：连接OE，如图所示：
则OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠0BE=∠CBE，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠ADB，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠AEO=90°，
∴OE⊥AD，
∴AD与⊙O相切；
（2）解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC，∠ABC=∠C，
∵BC=4，cosC=$\frac{1}{3}$，
∴BD=2，cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，
∴在Rt△ABD中，AB=$\frac{BD}{cos∠ABC}$=6，
设⊙O的半径为r，则OA=6-r，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABD，
∴$\frac{OA}{AB}=\frac{OE}{BD}$，
即$\frac{6-r}{6}=\frac{r}{2}$，
解得：r=$\frac{3}{2}$，
∴⊙O的半径为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角函数的运用；熟练掌握切线的判定，并能进行有关推理计算是解决问题的关键．