Question

【题目】在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：

①AB＝； ②当点E与点B重合时，MH＝； ③AF＋BE＝EF；④F、E分别不与端点A、B重合时，总有S△AGF+ S△EBH= S△FEM，其中正确结论为--------------------------（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC＝1，

∴AB=，故①正确；

（2）如下图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，

∴MB⊥BC，∠MBC=90°，

∵MG⊥AC，

∴∠MGC=∠C=∠MBC=90°，

∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，

∴MH=MB=CG，

∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=45°=∠ACF，

∴AF=CF=BF，

∴FG是△ACB的中位线，

∴GC=AC=，

∴MH=GC=，故②正确；

（3）如下图2所示，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠5=45°．

将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF；

∵∠2=45°，

∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，

∴∠DCE=∠2，

∵在△ECF和△ECD中，CF=CD，∠2=∠DCE，CE=CE，

∴△ECF≌△ECD（SAS），

∴EF=DE，

∵∠5=45°，

∴∠BDE=90°，

∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③错误；

（4）∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，

∵MG⊥AC，MH⊥BC，

∴∠AGF=∠BHE=90°，

∴∠AFG=∠BEH=45°，

∴∠MFE=∠AFG=45°，∠MEF=∠BEH=45°，

∴△AGF、△BEH、△MEF都是等腰直角三角形，

∴AG=FG=AF，BH=HE=BE，ME=MF=EF，

∴S△AGF=AF2，S△BEH=BE2，S△MEF=EF2，

∵EF2=AF2+BE2，

∴S△AGF+S△BEH=S△MEF，故④正确.

综上所述，正确的结论是①②④.

故选B.