Question

【题目】数学活动：擦出智慧的火花---------由特殊到一般的数学思想．

数学课上，李老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的点，过点E作EF⊥AE,过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G..

（1）求证：∠BAE=∠FEG.

（2）同学们很快做出了解答，之后李老师将题目修改成：如图2，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．请借助图1完成小明的证明；

在（2）的基础上，同学们作了进一步的研究：

（3）小聪提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小聪的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据∠AEF=90°，即可得到∠AEB+∠FEG=90°，在直角△ABE中，利用三角形内角和定理得到∠BAE+∠AEB=90°，然后根据同角的余角相等，即可证得；

（2）作AB的中点M，连接ME，根据ASA即可证明△AME≌△ECF，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得；

（3）在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，同（2）根据ASA即可证明△AME≌△ECF，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得．

试题解析：解：（1）∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEG=90°．又∵直角△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEG；

（2）作AB的中点M，连接ME．

∵正方形ABCD中，AB=BC．又∵AM=MB=AB，BE=CE=BC，∴MB=BE，∴△MBE是等腰直角三角形，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°．又∵∠ECF=180°﹣∠FCG=180°﹣45°=135°，∴∠AME=∠ECF．在△AME和△ECF中，∵∠BAE=∠FEC，AM=EC，∠AME=∠ECF，∴△AME≌△ECF，∴AE=EF；

（3）在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°．∵CF是外角平分线，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=135°，∴∠AME=∠ECF．

∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF．在△AME和△ECF中，∵∠BAE=∠FEC，AAM=EC，∠AME=∠ECF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF．