Question

【题目】如图，在正方形ABCD 中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B,C重合），CN⊥DM,CN与AB交于点N ，连接OM,ON,MN .下列五个结论：①△CNB≌△DMC ；②△CON≌△DOM ；③△OMN≌△OAD ；④ ；⑤若AB=2，则 的最小值是 ，其中正确结论的个数是 （ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，

∴∠BCN+∠DCN=90°，

又∵CN⊥DM，

∴∠CDM+∠DCN=90°，

∴∠BCN=∠CDM，

又∵∠CBN=∠DCM=90°，

∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；

根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，

又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，

∴△OCM≌△OBN（SAS），

∴OM=ON，∠COM=∠BON，

∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，

又∵DO=CO，

∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；

∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，

∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，

又∵△AOD是等腰直角三角形，

∴△OMN∽△OAD，故③正确；

∵AB=BC，CM=BN，

∴BM=AN，

又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，

∴AN2+CM2=MN2，故④正确；

∵△OCM≌△OBN，

∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，

∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，

设BN=x=CM，则BM=2-x，

∴△MNB的面积=x（2-x）=-x2+x，

∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，

此时S△OMN的最小值是1-=，故⑤正确；

综上所述，正确结论的个数是5个，

故选：D．