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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,对角线ACBD交于点OOAOD满足等式+OA-52=0AD=13.

1)求证:平行四边形ABCD是菱形;

2)过点DDEACBC的延长线于点EDF平分∠BDE,请求出DF的长度.

【答案】1)见解析;(2DF=

【解析】

1)根据非负性得出OA=5OD=12,利用勾股定理的逆定理得出ACBD,利用菱形的判定解答;
2)作辅助线,构建等腰直角三角形,则FDG为等腰直角三角形,设FG=x,则BG=24-x,证明BOC∽△BGF,可得x的值,从而得DF的长.

1)∵+OA-52=0

OA=5OD=12

OA2+OD2=52+122=169

AD=13

AD2=169

OA2+OD2=AD2

∴∠AOD=90°

ACBD

∴平行四边形ABCD是菱形;

2)过FFGBDG

DEACACBD

BDDE,即∠BDE=90°

DF平分∠BDE

∴∠BDF=45°

∴△FDG为等腰直角三角形,

DG=FG

FG=x,则BG=24-x

OCFG

∴△BOC∽△BGF

x=

DF=FG=x=

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