Question

1．【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE=$\frac{1}{2}$BC．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．
【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：AC=BD．（只添加一个条件）
（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 【探究】利用三角形的中位线定理可得出HG=EF、EF∥GH，继而可判断出四边形EFGH的形状；
【应用】（1）同【探究】的方法判断出EF=$\frac{1}{2}$AC，即可判断出EF=FG，即可得出结论；
（2）先判断出S_△BCD=4S_△CFG，同理：S_△ABD=4S_△AEH，进而得出S_{四边形EFGH}=$\frac{5}{2}$，再判断出OM=ON，进而得出S_阴影=$\frac{1}{2}$S_{四边形EFGH}即可．

解答 解：【探究】平行四边形．
理由：如图1，连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
综上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四边形EFGH是平行四边形．
【应用】（1）添加AC=BD，
理由：连接AC，BD，同（1）知，EF=$\frac{1}{2}$AC，
同【探究】的方法得，FG=$\frac{1}{2}$BD，
∵AC=BD，
∴EF=FG，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴?EFGH是菱形；
故答案为AC=BD；
（2）如图2，由【探究】得，四边形EFGH是平行四边形，
∵F，G是BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=$\frac{1}{2}$BD，
∴△CFG∽△CBD，
∴$\frac{{S}_{△CFG}}{{S}_{△BCD}}=\frac{1}{4}$，
∴S_△BCD=4S_△CFG，
同理：S_△ABD=4S_△AEH，
∵四边形ABCD面积为5，
∴S_△BCD+S_△ABD=5，
∴S_△CFG+S_△AEH=$\frac{5}{4}$，
同理：S_△DHG+S_△BEF=$\frac{5}{4}$，
∴S_{四边形EFGH}=S_{四边形ABCD}-（S_△CFG+S_△AEH+S_△DHG+S_△BEF）=5-$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$，
设AC与FG，EH相交于M，N，EF与BD相交于P，
∵FG∥BD，FG=$\frac{1}{2}$BD，
∴CM=OM=$\frac{1}{2}$OC，
同理：AN=ON=$\frac{1}{2}$OA，
∵OA=OC，
∴OM=ON，
易知，四边形ENOP，FMOP是平行四边形，
∴S_阴影=$\frac{1}{2}$S_{四边形EFGH}=$\frac{5}{4}$，
故答案为$\frac{5}{4}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，解【探究】的关键是判断出HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，解【应用】的关键是判断出S_{四边形EFGH}=$\frac{5}{2}$，是一道基础题目．