Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，点E，F分别在BC，AC上，且BE=CF，连结AE与BF相交于点G．将△ABC沿AB边折叠得到△ABD，连结DG．延长EA到点H，使得AH=BG，连结DH．

（1）求证：四边形DBCA是菱形．

（2）若菱形DBCA的面积为8，，求△DGH的面积．

Answer 1

【答案】（1）四边形DBCA是菱形（证明过程见解析）（2）S△DGH=．

【解析】

试题分析：（1）利用等边三角形的性质和折叠的定义，可知AC=AD=BC=BD，利用菱形的判定定理可得结论；

（2）首先证得△ABE≌△BCF（SAS），再由菱形的性质和全等三角形的判定证得△DBG≌△DAH（SAS），由全等三角形的性质和相似三角形的判定可证得△DBA∽△DGH，由相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，可得结果．

试题解析：证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC由折叠知AC=AD，BC=BD，

∴AC=AD=BC=BD，

∴四边形DBCA是菱形；

（2）解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，

在△ABE与△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴∠AEB=∠BFC，

∵四边形DBCA是菱形，

∴DA∥BC，DB∥AC，∠BDA=∠C=60°，

∴∠HAD=∠AEB，∠DBG=∠BFC，

∴∠HAD=∠DBG，

在△DBG与△DAH中，

，

∴△DBG≌△DAH（SAS），

∴DG=DH，∠BDG=∠ADH，

∴∠HDG=∠ADH+∠GDA=∠BDG+∠GDA=∠BDA=60°，

又∵DA=DB，DG=DH，

∴△DBA∽△DGH，

∴，

∵S△DBA=S菱形DBCA=，

∴S△DGH=．