【题目】如图,四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AD=1,BC=3,E是边CD的中点,连接BE并延长与AD的延长线相交于点F
(1)求证:四边形BDFC是平行四边形。
(2)若△BCD是等腰三角形,求四边形BDFC的面积.
【答案】
(1)
证明:∵∠A=∠ABC=90°,
∴BC∥AD,
∴∠CBE=∠DFE,
在△BEC与△FED中,
,
∴△BEC≌△FED,
∴BE=FE,
又∵E是边CD的中点,
∴CE=DE,
∴四边形BDFC是平行四边形
(2)
解:①BC=BD=3时,由勾股定理得,AB===2,
所以,四边形BDFC的面积=3×2=6;
②BC=CD=3时,过点C作CG⊥AF于G,则四边形AGCB是矩形,
所以,AG=BC=3,
所以,DG=AG﹣AD=3﹣1=2,
由勾股定理得,CG===,
所以,四边形BDFC的面积=3×=3;
③BD=CD时,BC边上的中线应该与BC垂直,从而得到BC=2AD=2,矛盾,此时不成立;
综上所述,四边形BDFC的面积是6或3.
【解析】(1)根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠CBE=∠DFE,然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等,根据全等三角形对应边相等可得BE=EF,然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可;
(2)分①BC=BD时,利用勾股定理列式求出AB,然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解;②BC=CD时,过点C作CG⊥AF于G,判断出四边形AGCB是矩形,再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3,然后求出DG=2,利用勾股定理列式求出CG,然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解;③BD=CD时,BC边上的中线应该与BC垂直,从而得到BC=2AD=2,矛盾.
此题考查了平行线的判定和三角形全等的判定,勾股定理和平行四边形面积的求法,注意分情况讨论。
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【题目】如图1,在△ABC中,AB=AC,射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转,旋转角为α(0°<α<180°)
(1)当∠BAC=60°时,将BP旋转到图2位置,点D在射线BP上.若∠CDP=120°,则∠ACD__∠ABD(填“>”、“=”、“<”),线段BD、CD与AD之间的数量关系是_____;
(2)当∠BAC=120°时,将BP旋转到图3位置,点D在射线BP上,若∠CDP=60°,求证:BD﹣CD=AD;
(3)将图3中的BP继续旋转,当30°<α<180°时,点D是直线BP上一点(点P不在线段BD上),若∠CDP=120°,请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系(不必证明).
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【题目】如图,在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG,动点P从点A出发,沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B),则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】某超市为促销,决定对A,B两种商品进行打折出售.打折前,买6件A商品和3件B商品需要54元,买3件A商品和4件B商品需要32元;打折后,买50件A商品和40件B商品仅需364元,这比打折前少花多少钱?
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【题目】已知:平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点分别为O(0,0)、A(5,0)、B(m,2)、C(m﹣5,2).
(1)问:是否存在这样的m,使得在边BC上总存在点P,使∠OPA=90°?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时,求m的值.
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【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为6,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.若AE=2,则FM的长为 .
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处.当△CEB′为直角三角形时,BE的长为 .
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