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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx(k0)沿着y轴向上平移3个单位长度后,与x轴交于点B(3,0),与y轴交于点C,抛物线y=x2+bx+c过点B、C且与x轴的另一个交点为A.

(1)求直线BC及该抛物线的表达式;

(2)设该抛物线的顶点为D,求△DBC的面积;

(3)如果点Fy轴上,且∠CDF=45°,求点F的坐标.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3;(2)SDBC=3;(3)F(0,﹣).

【解析】试题分析:

(1)由题意可设平移后的直线的解析式为y=kx+3,代入点B的坐标可求得k的值,从而可得直线BC的解析式y=-x+3,由此可解得点C的坐标,将B、C的坐标代入抛物线的解析式列方程组可求得b、c的值,即可得到抛物线的解析式;

(2)如图1所示:过点CCEx轴,过点BEFy轴,过点DDFx(1)中所得抛物线的解析式求出其顶点D的坐标即可由SDBC=S四边形CEFG﹣SCDG﹣SBFD﹣SBCE求出其面积了;

(3)如图2所示:过点FFGCD,垂足为G.(1)(2)易得CD=,tanOCD=tanGCF=CG=2FG,由∠GCF=45°,FGD=90°可得△FGD为等腰直角三角形,由此可得FG=GD,由此可得CD=3FG,FG=,CG=从而在RtCFG中,可得CF=OF=CF﹣OC=就可得到点F的坐标为(0,﹣).

试题解析

(1)将直线y=kx(k≠0)沿着y轴向上平移3个单位长度,所得直线的解析式为y=kx+3,

将点B(3,0)代入得:3k+3=0,解得k=﹣1,

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3.

x=0得:y=3,

C(0,3).

B(3,0),C(0,3)代入抛物线的解析式得:解得:b=﹣4,c=3,

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3.

(2)如图1所示:过点CCEx轴,过点BEFy轴,过点DDFx轴.

y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1.

D(2,﹣1).

SDBC=S四边形CEFG﹣SCDG﹣SBFD﹣SBCE=12﹣×2×4﹣×1×1﹣×3×3=3.

(3)如图2所示:过点FFGCD,垂足为G,(1)(2)易得CD=

C(0,3),D(2,﹣1),

CD=

tanOCD=tanGCF=

CG=2FG.

又∵∠GCF=45°,FGD=90°,

∴△FGD为等腰直角三角形,

FG=GD.

CD=3FG,

FG=

CG=2FG=

∴在RtCFG中,依据勾股定理可知:CF=

OF=CF﹣OC=

F(0,﹣).

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