【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx(k≠0)沿着y轴向上平移3个单位长度后,与x轴交于点B(3,0),与y轴交于点C,抛物线y=x2+bx+c过点B、C且与x轴的另一个交点为A.
(1)求直线BC及该抛物线的表达式;
(2)设该抛物线的顶点为D,求△DBC的面积;
(3)如果点F在y轴上,且∠CDF=45°,求点F的坐标.
【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3;(2)S△DBC=3;(3)F(0,﹣).
【解析】试题分析:
(1)由题意可设平移后的直线的解析式为y=kx+3,代入点B的坐标可求得k的值,从而可得直线BC的解析式y=-x+3,由此可解得点C的坐标,将B、C的坐标代入抛物线的解析式列方程组可求得b、c的值,即可得到抛物线的解析式;
(2)如图1所示:过点C作CE∥x轴,过点B作EF∥y轴,过点D作DF∥x轴,由(1)中所得抛物线的解析式求出其顶点D的坐标即可由S△DBC=S四边形CEFG﹣S△CDG﹣S△BFD﹣S△BCE求出其面积了;
(3)如图2所示:过点F作FG⊥CD,垂足为G.由(1)(2)易得CD=,tan∠OCD=tan∠GCF=,则CG=2FG,由∠GCF=45°,∠FGD=90°可得△FGD为等腰直角三角形,由此可得FG=GD,由此可得CD=3FG,则FG=,CG=,从而在Rt△CFG中,可得CF=,则OF=CF﹣OC=,就可得到点F的坐标为(0,﹣).
试题解析:
(1)将直线y=kx(k≠0)沿着y轴向上平移3个单位长度,所得直线的解析式为y=kx+3,
将点B(3,0)代入得:3k+3=0,解得k=﹣1,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3.
令x=0得:y=3,
∴C(0,3).
将B(3,0),C(0,3)代入抛物线的解析式得: ,解得:b=﹣4,c=3,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3.
(2)如图1所示:过点C作CE∥x轴,过点B作EF∥y轴,过点D作DF∥x轴.
y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1.
∴D(2,﹣1).
∴S△DBC=S四边形CEFG﹣S△CDG﹣S△BFD﹣S△BCE=12﹣×2×4﹣×1×1﹣×3×3=3.
(3)如图2所示:过点F作FG⊥CD,垂足为G,由(1)(2)易得CD=,
∵C(0,3),D(2,﹣1),
∴CD=,
∵tan∠OCD=tan∠GCF=,
∴CG=2FG.
又∵∠GCF=45°,∠FGD=90°,
∴△FGD为等腰直角三角形,
∴FG=GD.
∴CD=3FG,
∴FG=.
∴CG=2FG=.
∴在Rt△CFG中,依据勾股定理可知:CF=.
∴OF=CF﹣OC=.
∴F(0,﹣).
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【题目】已知:如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,E为AC上一点,点G在BE上,连接DG并延长交AE于F,若∠FGE=45°.
(1)求证:BDBC=BGBE;
(2)求证:AG⊥BE;
(3)若E为AC的中点,求EF:FD的值.
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【题目】如图,函数y= (x<0)的图象与直线y= x+m相交于点A和点B.过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥y轴于点F,P为线段AB上的一点,连接PE、PF.若△PAE和△PBF的面积相等,且xP=﹣ ,xA﹣xB=﹣3,则k的值是( )
A. ﹣5 B. C. ﹣2 D. ﹣1
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【题目】如图,ABCD的对角线AC、BD交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,且∠ADC=60°,AB=BC,连接OE.下列结论:①∠CAD=30°;②SABCD=ABAC;③OB=AB;④OE=BC,成立的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】阅读下列材料:小明为了计算1+2+22+……+22018+22019的值,采用以下方法:
设S=1+2+22+……+22018+22019①
则2S=2+22+……+22019+22020②
②-①得,2S-S=S=22020-1
请仿照小明的方法解决以下问题:
(1)1+2+22+……+29=;
(2)3+32+……+310=;
(3)求1+a+a2+……+an的和(a>0,n是正整数,请写出计算过程).
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【题目】如图,在一个平台远处有一座古塔,小明在平台底部的点C处测得古塔顶部B的仰角为60°,在平台上的点E处测得古塔顶部的仰角为30°.已知平台的纵截面为矩形DCFE,DE=2米,DC=20米,求古塔AB的高(结果保留根号)
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【题目】如图(1),,BD⊥AB,,点在线段上以的速度由点向点运动,同时,点在线段上由点向点运动,它们运动的时间为.
(1)若点的速度与点的速度相等,当时,求证:;
(2)在(1)的条件下,判断此时和的位置关系,并证明;
(3)将图(1)中的“,”,改为“”,得到图(2),其他条件不变.设点的运动速度为,请问是否存在实数,使得与全等?若存在,求出相应的和的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】2013年6月,某中学结合广西中小学阅读素养评估活动,以“我最喜爱的书籍”为主题,对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查,收集整理数据后,绘制出以下两幅未完成的统计图,请根据图1和图2提供的信息,解答下列问题:
(1)在这次抽样调查中,一共调查了多少名学生?
(2)请把折线统计图(图1)补充完整;
(3)求出扇形统计图(图2)中,体育部分所对应的圆心角的度数;
(4)如果这所中学共有学生1800名,那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数.
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【题目】已知关于x一元二次方程x2-2(k+1)x+k2-2k-3=0有两个不相等的实数根
(1)求k取值范围;
(2)当k最小的整数时,求抛物线 y= x2-2(k+1)x+k2-2k-3的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标;
(3)将(2)中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象.请你画出这个新图象,并求出新图象与直线 y=x+m有三个不同公共点时m值.
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