Question

18．如图，已知E、F分别是?ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠BAC=90°，AC平分∠EAF，且BC=8cm，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质得出AF∥EC，进而得出AF=EC，进而求出即可；
（2）利用菱形的性质以及三角形内角和定理得出∠2=∠ACE，进而求出∠BAE=∠B，得出BE=AE=CE，再利用直角三角形斜边上的中线性质得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵AC平分∠EAF，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠ACE，
∴∠2=∠ACE，
∴AE=CE，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE=90°-∠1，∠B=90°-∠ACE，
∴∠BAE=∠B，
∴AE=BE，
∴BE=AE=CE=$\frac{1}{2}$BC=4cm．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证出BE=AE=CE是解决问题（2）的关键．