Question

17．如图，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于D、E，且BD=2AD
（1）求k的值和点E的坐标；
（2）点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值，继而求得点E的坐标；
（2）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4-m，由∠APE=90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．

解答 解：（1）∵AB=4，BD=2AD，
∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，
∴AD=$\frac{4}{3}$，
又∵OA=3，
∴D（$\frac{4}{3}$，3），
∵点D在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=$\frac{4}{3}$×3=4；
∵四边形OABC为矩形，
∴AB=OC=4，
∴点E的横坐标为4．
把x=4代入y=$\frac{4}{x}$中，得y=1，
∴E（4，1）；

（2）假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4-m．
∵∠APE=90°，
∴∠APO+∠EPC=90°，
又∵∠APO+∠OAP=90°，
∴∠EPC=∠OAP，
又∵∠AOP=∠PCE=90°，
∴△AOP∽△PCE，
∴$\frac{OA}{PC}=\frac{OP}{CE}$，
∴$\frac{3}{4-m}=\frac{m}{1}$，
解得：m=1或m=3，
∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．

点评 此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求反比例函数解析式、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意求得点D的坐标与证得△AOP∽△PCE是解此题的关键．