Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．

（1）填空：点C的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ）；
（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位置；
（3）在（2）的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点C′的横坐标为t（其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？

Answer 1

【答案】
（1）0,3,1,4
（2）解：∵在三角形中两边之差小于第三边，

∴延长DC交x轴于点P，

设直线DC的解析式为y=kx+b，把D、C两点坐标代入可得 ，解得 ，

∴直线DC的解析式为y=x+3，

将点P的坐标（a，0）代入得a+3=0，求得a=﹣3，

如图1，点P（﹣3，0）即为所求；

（3）解：过点C作CE∥x，交直线BD于点E，如图2，

由（2）得直线DC的解析式为y=x+3，

可求得直线BD的解析式为y=﹣2x+6，直线BC的解析式为y=﹣x+3，

在y=﹣2x+6中，当y=3时，x= ，

∴E点坐标为（ ，3），

设直线P′C′与直线BC交于点M，

∵P′C′∥DC，P′C′与y轴交于点（0，3﹣t），

∴直线P′C′的解析式为y=x+3﹣t，

联立 ，解得 ，

∴点M坐标为（ ， ），

∵B′C′∥BC，B′坐标为（3+t，0），

∴直线B′C′的解析式为y=﹣x+3+t，

分两种情况讨论：

①当0＜t＜ 时，如图2，B′C′与BD交于点N，

联立 ，解得 ，

∴N点坐标为（3﹣t，2t），

S=S△B′C′P﹣S△BMP﹣S△BNB′= ×6×3﹣ （6﹣t）× （6﹣t）﹣ t×2t=﹣ t2+3t，

其对称轴为t= ，可知当0＜t＜ 时，S随t的增大而增大，当t= 时，有最大值 ；

②当 ≤t＜6时，如图3，直线P′C′与DB交于点N，

联立 ，解得 ，

∴N点坐标为（ ， ），

S=S△BNP′﹣S△BMP′= （6﹣t）× ﹣ ×（6﹣t）× = （6﹣t）2= t2﹣t+3；

显然当 ＜t＜6时，S随t的增大而减小，当t= 时，S=

综上所述，S与t之间的关系式为S= ，且当t= 时，S有最大值，最大值为 ．

【解析】解：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴C（0，3），D（1，4），

所以答案是：0；3；1；4；