Question

7．在△ABC中，点E，F分别为AB，AC的中点，连接CE，BF，CE与BF交于点M，且CE⊥BF，连接EF．
（1）如图1，当∠FEC=45°，EF=2$\sqrt{2}$时，①填空：BC=4$\sqrt{2}$；BF=6．
②求证：AB=AC；
（2）如图2，当∠FEC=30°，BC=8时，求CE和AB的长度；
（3）如图3，在?ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，连接AC，BF，AC与BF交于点M，且BF⊥AC，连接AE，EF，AE与BF交于点G，EF与AC交于点H，求$\frac{GM}{MF}$的值．

Answer 1

分析 （1）①与点E，F分别为AB，AC的中点，得到EF∥BC，BC=2EF=4$\sqrt{2}$，推出△BCM与△EFM是等腰直角三角形，解直角三角形得到BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=4，FM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=2，求得BF=BM+MF=6；②通过△BCE≌△CBF，由全等三角形的性质得到BE=CF，即可得到结论；
（2）根据三角形的中位线的性质得到EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC=4，解直角三角形得到CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=4$\sqrt{3}$，EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF=2$\sqrt{3}$，根据勾股定理得到BE=$\sqrt{B{M}^{2}+E{M}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，即可得到结；
（3）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，根据三角形的中位线的性质得到AF=BE，AF∥BE，推出四边形ABEF是平行四边形，于是得到AG=GE，证得△AFH≌△CEH，根据全等三角形的性质得到EH=FH，由三角形的中位线的性质得到GH∥AF，GH=$\frac{1}{2}$AF，由相似三角形的性质得到$\frac{GM}{MF}=\frac{GH}{AF}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）①∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC，BC=2EF=4$\sqrt{2}$，
∵∠FEC=45°，
∴∠BCM=45°，
∵CE⊥BF，
∴△BCM与△EFM是等腰直角三角形，
∴BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=4，FM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=2，
∴BF=BM+MF=6；
故答案为：4$\sqrt{2}$，6；
②∵BM=CM，EM=FM，
∴∠MCB=∠MBC，BF=CE，
在△BCE与△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=BF}\\{∠ECB=∠FBC}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CBF，
∴BE=CF，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴AB=AC；

（2）∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC=4，
∵∠FEC=30°，
∴∠BCM=30°，
∵CE⊥BF，
∴∠BMC=∠EMF=90°，
∴CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=4$\sqrt{3}$，EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF=2$\sqrt{3}$，
∴CE=6$\sqrt{3}$，BE=$\sqrt{B{M}^{2}+E{M}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴AB=2BE=4$\sqrt{7}$；

（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴AF=BE，AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴AG=GE，
∵AD∥BC，
∴∠FAH=∠ECH，
在△AFH与△CEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAH=∠ECH}\\{∠AHF=∠CHE}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△AFH≌△CEH，
∴EH=FH，
∴GH∥AF，GH=$\frac{1}{2}$AF，
∴△GMH∽△AMF，
∴$\frac{GM}{MF}=\frac{GH}{AF}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，平行线的性质，勾股定理，解直角三角形，证得EF是△ABC的中位线是解题的关键．