Question

3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且OD∥AC，OD与BC交于点E．
（1）求证：E为BC的中点；
（2）若BC=8，DE=3，求AB的长度．

Answer 1

分析 （1）根据直径所对的圆周角是直角求出∠C=90°，根据平行线的性质求出∠OEB=90°，即OD⊥BC，根据垂径定理即可证得结论；
（2）设圆的半径为x，则OB=OD=x，OE=x-3，根据勾股定理求出答案．

解答 解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠C=90°，
∵OD∥AC，
∴∠OEB=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∴BE=CE，
∴E为BC的中点；

（2）设圆的半径为x，则OB=OD=x，OE=x-3，
∵BE=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△BOE中，OB²=BE²+OE²，
∴x²=4²+（x-3）²，解得x=$\frac{25}{6}$，
∴AB=2x=$\frac{25}{3}$．

点评 本题考查的是圆周角定理、垂径定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键．