Question

已知，圆O的直径为1，CD⊥AB，M，N分别是CD，BD的中点，求证：cos∠NMD=AC．

Answer 1

考点：圆周角定理,三角形中位线定理,锐角三角函数的定义

专题：证明题

分析：连接CO并延长交圆于点E，连接AC、BC、AE，利用圆周角定理和直角三角形的性质及中位线定理，可证得∠NMD=∠DCB=∠ACE，又在Rt△ACE中可知cos∠ACE=AC，可证得结论．

解答：证明：连接CO并延长交圆于E点，连接AC、AE、BC
∵CE为圆直径，
∴CA⊥AE，
∴cos∠ACE=AC，
∵∠E=∠CBA，且AB⊥CD，
∴∠ACE=∠DCB，
∵M、N为CD、BD的中点，
∴MN∥BC，
∴∠NMD=∠DCB，
∴cos∠NMD=cos∠DCB=cos∠ACE=AC．

点评：本题主要考查圆周角定理及三角函数的定义，证明∠NMD=∠DCB=∠ACE，把所求角转化到Rt△ACE中利用三角函数定义是解题的关键．