Question

14．如图，⊙O的半径为10，点C为$\widehat{AB}$ 的中点，过点C作弦CD∥OA，交OB于E．
（1）当∠D=44°时，∠AOB=88°；
（2）若已知AB=16，求弦CD的长；
（3）当AB的长为多少时，△OED为直角三角形？请写出解答过程．

Answer 1

分析 （1）如图，由题意可知∠1=∠2=∠3，∠AOB=2∠3，即可解决问题．
（2）如图构造RT△CDF，利用△CDF∽△OKA即可求出CD．
（3）当∠AOB=90°，可以推出△OED是RT△，再利用勾股定理求AB．

解答 解：（1）∵OD=OC，
∴∠1=∠2，
∵AO∥CD，∠2=44°，
∴∠3=∠1=∠2=44°，
∵点C为$\widehat{AB}$ 的中点，
∴∠3=∠BOC，∠AOB=2∠3=88°，
故答案为88°．
（2）延长CO交⊙O于F，连接DF．
∵点C为$\widehat{AB}$ 的中点，
∴OC⊥AB，垂足为K，
∵CF是直径，
∴∠FDC=∠AKO=90°，
∵∠1=∠3，
∴△OKA∽△CDF，
∴$\frac{AO}{CF}=\frac{OK}{CD}$，
∵AO=10，AK=$\frac{1}{2}$AB=8，
∴OK=$\sqrt{A{O}^{2}-A{K}^{2}}$=6，
∴$\frac{10}{20}=\frac{6}{CD}$，
∴CD=12．
（3）当∠AOB=90°，由（1）可知∠3=∠BOC=∠1=45°
∴∠OEC=90°，
∴OE⊥DE，
∴△ODE是RT△，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=10$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了垂径定理、直径的性质、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，寻找相似三角形利用相似三角形性质求线段是常用的数学方法．