Question

9．已知抛物线y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+4上有不同的两点E（6，-k²+1）和F（-4，-k²+1）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+4与x轴的正半轴和y轴分别交于点A和点B，M为AB的中点，∠PMQ=45°，MP交y 轴于点C，MQ交x轴于点D．∠PMQ在AB的左侧以M为中心旋转，设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，当m、n为何值时，∠PMQ的边过点F．

Answer 1

分析 （1）由点E与点F的纵坐标相同可知抛物线的对称轴为x=1，由抛物线的对称轴方程可求得b=1；
（2）令x=0可求得y=4，令y=0可求得x=-2或x=4，从得到点A（4，0）、B（0，4），M（2，2），然后证明∠B=∠A=45°，∠BCM=∠AMD，从而可证明△BCM∽△AMD，由相似三角形的性质可知：$\frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BM}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{n}=\frac{m}{2\sqrt{2}}$，故此可得到n与m的函数关系式为n=$\frac{8}{m}$；
（3）将x=-4代入抛物线的解析式可求得点F的坐标，然后依据待定系数法可求得MF的解析式，当MQ过点F时，可求得点D的坐标，故此可求得m的值，然后由n=$\frac{8}{m}$可求得n的值，当PM过点F时，可求得点C的坐标，从而求得n的值，然后由n=$\frac{8}{m}$可求得m的值．

解答 解：（1）∵点E与点F的纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴方程为x=1．
∵x=-$\frac{b}{2a}$，
∴-$\frac{b}{2×（-\frac{1}{2}）}$=1．
解得：b=1．
∴抛物线的解析式为y=$-\frac{1}{2}$x²+x+4．
∵将x=0代入得：y=4，
∴点B的坐标为（0，4）．
∵令y=0得：$-\frac{1}{2}$x²+x+4=0，
∴x₁=-2，x₂=4．
∴点A（4，0）．
∵M是AB的中点，
∴点M的坐标为（2，2）．
∵OA=OB，∠BOA=90°，
∴∠B=∠A=45°．
∴∠BCM+∠BMC=135°，MB=AB=$\frac{1}{2}AB$=2$\sqrt{2}$．
∵∠PMQ=45°，
∴∠BMC+∠AMD=135°．
∴∠BCM=∠AMD．
∴△BCM∽△AMD．
∴$\frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BM}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{n}=\frac{m}{2\sqrt{2}}$．
∴n=$\frac{8}{m}$．
（3）将x=-4代入抛物线的解析式得：y=-8．
∴点F的坐标为（-4，-8）．
设直线MF的解析式为y=kx+b．
将点M和点F的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=2}\\{-4k+b=-8}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{5}{3}$，b=-$\frac{4}{3}$．
∴直线MF的解析式为y=$\frac{5}{3}x-\frac{4}{3}$．
①当MQ经过点F时，直线MQ的解析式为y=$\frac{5}{3}x-\frac{4}{3}$．
将y=0代入得：$\frac{5}{3}x-\frac{4}{3}$=0．
解得：x=$\frac{4}{5}$．
∴点D的坐标为（$\frac{4}{5}$，0）．
∴m=4-$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$．
∴n=$\frac{8}{m}$=8×$\frac{5}{16}$=$\frac{5}{2}$．
②当MP经过点F时，直线PM的解析式为y=$\frac{5}{3}x-\frac{4}{3}$．
∵将x=0代入得：y=-$\frac{4}{3}$．
∴n=BC=4-（-$\frac{4}{3}$）=4+$\frac{4}{3}$=$\frac{16}{3}$．
∴m=$\frac{8}{n}$=8×$\frac{3}{16}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定，证得△BCM∽△AMD是解题的关键．