Question

6．如图，一架25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为7米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端沿墙垂直下滑4米至E，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？
（3）如果梯子与地面的夹角小于30°时，梯子就会滑倒，那么在第（2）问中，梯子会滑倒吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理，即分别求出AC和DC，求二者之差即可解答；
（3）设∠E′DC=30°时，在Rt△E′CD中，求得E′C=$\frac{1}{2}$ED=12.5m．由于CE＞E′C，于是得到结论．

解答 解：（1）根据题意得：AB=25，BC=7，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=24m，
答：这个梯子的顶端距地面有24m；

（2）∵AE=4，
∴CE=20，
∵ED=AB=25，
∴CD=$\sqrt{E{D}^{2}-E{C}^{2}}$=15m，BD=CD-BC=8m，
∴梯子的底部在水平方向滑动了8米；

（3）设∠E′DC=30°时，
∵E′D=25，
在Rt△E′CD中，E′C=$\frac{1}{2}$ED=12.5m．
∵CE＞E′C，
∴梯子不会滑倒．

点评 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求CD的长度是解题的关键．