Question

【题目】已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连接AE，交CD于点F．

（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；

（2）若PF=13，求PE的长；

（3）在（2）的条件下，sinA＝，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）13；（3）10

【解析】

（1）首先连接OD，由直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8，可求得OB的长，又由勾股定理，可求得BD的长，然后由垂径定理，求得CD的长；

（2）由PE是⊙O的切线，易证得∠PEF=90°－∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°－∠A，继而可证得∠PEF=∠PFE，根据等角对等边的性质，可得PE=PF，求得PE的长；

（3）首先过点P作PG⊥EF于点G，易得∠FPG=∠A，即可得FG=PFsinA=13×=5，又由等腰三角形的性质，求得答案．

解：（1）连接OD，

∵直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8，

∴OB=OA=4，BC=BD=CD，

∴在Rt△OBD中，BD=

∴CD=2BD=；

（2）∵PE是⊙O的切线，

∴∠PEO=90°，

∴∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，

∵OE=OA，

∴∠A=∠AEO，

∴∠PEF=∠PFE，

∴PE=PF=13；

（3）过点P作PG⊥EF于点G，

∴∠PGF=∠ABF=90°，

∵∠PFG=∠AFB，

∴∠FPG=∠A，

∴FG=PFsinA=13×=5

∵PE=PF，

∴EF=2FG=10.