Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．

（1）求证：BC是⊙O的切线．

（2）求证：＝．

（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45

【解析】

（1）连接OE，OP，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝BE，根据全等三角形的性质得到∠BEO＝∠BPO，根据切线的判定和性质定理即可得到结论．

（2）根据平行线和等腰三角形的性质即可得到结论．

（3）根据垂径定理得到EP⊥AB，根据平行线和等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠EAO，根据全等三角形的性质得到CE＝QE，推出四边形CHQE是菱形，解直角三角形得到CG＝＝12，根据勾股定理即可得到结论．

（1）证明：连接OE，OP，

∵PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，

∴AB垂直平分EP，

∴PB＝BE，

∵OE＝OP，OB＝OB，

∴△BEO≌△BPO（SSS），

∴∠BEO＝∠BPO，

∵BP为⊙O的切线，

∴∠BPO＝90°，

∴∠BEO＝90°，

∴OE⊥BC，

∴BC是⊙O的切线．

（2）解：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，

∴AC∥OE，

∴∠CAE＝∠OEA，

∵OA＝OE，

∴∠EAO＝∠AEO，

∴∠CAE＝∠EAO，

∴．

（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，

∴EP⊥AB，

∵CG⊥AB，

∴CG∥EP，

∵∠ACB＝∠BEO＝90°，

∴AC∥OE，

∴∠CAE＝∠AEO，

∵OA＝OE，

∴∠EAQ＝∠AEO，

∴∠CAE＝∠EAO，

∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，

∴△ACE≌△AQE（AAS），

∴CE＝QE，

∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，

∴∠CEH＝∠AHG，

∵∠AHG＝∠CHE，

∴∠CHE＝∠CEH，

∴CH＝CE，

∴CH＝EQ，

∴四边形CHQE是平行四边形，

∵CH＝CE，

∴四边形CHQE是菱形，

∵sin∠ABC═sin∠ACG═＝，

∵AC＝15，

∴AG＝9，

∴CG＝＝12，

∵△ACE≌△AQE，

∴AQ＝AC＝15，

∴QG＝6，

∵HQ2＝HG2+QG2，

∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，

解得：HQ＝，

∴CH＝HQ＝，

∴四边形CHQE的面积＝CHGQ＝×6＝45．