【题目】如图,抛物线经过点,,直线交轴于点,且与抛物线交于、两点.为抛物线上一动点(不与点,重合).
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点在直线上方时,过点作轴交于点,轴交于点,求的最大值;
(3)设为直线上的点,以,,,为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能,请直接写出点的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3)能构成,点F的坐标是(2,4)或或或.
【解析】
(1)根据待定系数法解答即可;
(2)求出OA和OE的长后易证,由相似三角形的性质可得,于是可转化为,只要求出PN的最大值即可,可设点P的横坐标为m,则PN的长可用含m的代数式表示,再利用二次函数的性质即可求出PN的最大值,进一步即可求出结果;
(3)分情况讨论:当CE为边时,则CE=PF,CE∥PF,易得CE=2,再分点在直线上方和点在直线下方,设点P的横坐标为m,由PF=2可得关于m的方程,解方程即可求出m,进而可求得点F的坐标;当CE为对角线时,如图,则CP=EF,CP∥EF,设点P的横坐标为m,表示出点P、F坐标后,由平行四边形的性质可得,从而可得关于m的方程,解方程即可求出m,进而可求得点F的坐标.
解(1)抛物线经过点,,
,解得:,
∴抛物线的解析式为;
(2)在直线中,当时,,,
当时,,,∴,
轴,轴,
,,
,
,
,,
,
设,
轴,,
点在直线上方,
∴,
∴当时,有最大值,最大值为,此时的最大值=;
(3)由题意得:当CE为边时,若以,,,为顶点的四边形能构成平行四边形,则CE=PF,CE∥PF,
当点在直线上方时,设,则,
∵,
∴,
∴,解得:m=0(舍去)或m=2,
此时点F的坐标是(2,4);
当点在直线下方时,,
∴,解得:或,
此时点F的坐标是或;
当CE为对角线时,如图,若以,,,为顶点的四边形能构成平行四边形,则CP=EF,CP∥EF,
此时可设,则由可得,
由得:,
解得:m=0(舍去)或m=2,
此时点F的坐标是;
综上所述,以,,,为顶点的四边形能构成平行四边形,且点F的坐标是(2,4)或或或.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为﹣1,3,与y轴负半轴交于点C.以下五个结论:①2a+b=0;②a+b+c>0;③4a+b+c>0;④只有当a=时,△ABD是等腰直角三角形;⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有两个.那么,其中正确的结论是_____.
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【题目】刘雨泽和黎昕两位同学玩抽数字游戏.五张卡片上分别写有2、4、6、8、这五个数字,其中两张卡片上的数字是相同的,从中随机抽出一张,已知(抽到数字4的卡片).
(1)求这五张卡片上的数字的众数;
(2)若刘雨泽已抽走一张数字2的卡片,黎昕准备从剩余4张卡片中抽出一张.
①所剩的4张卡片上数字的中位数与原来5张卡片上数字的中位数是否相同?并简要说明理由;
②黎昕先随机抽出一张卡片后放回,之后又随机抽出一张,用列表法(或树状图)求黎昕两次都抽到数字4的概率.
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【题目】某青春党支部在精准扶贫活动中,给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元,用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同.
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元?
(2)在实际帮扶中,他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵,此时,甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%,乙种树苗的售价不变,如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元,那么他们最多可购买多少棵乙种树苗?
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【题目】为了提高学生身体素质,某市中小学开展阳光健步走活动,某数学兴趣小组收集了某校名学生一天行走的步数并记录如下:
对这个数据按组距进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表.
调查结果统计表:
组别 | 步数分组 | 频数 |
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)填空: ,
(2)请补全条形统计图.
(3)这名学生一天行走步数的众数落在 组.
(4)根据科学研究,初中生一天的健步行走应不少于步,若该校有名初中生,请你估计该校一天健步行走不少于步的学生人数,并根据上述数据,给校方提出合理化的建议(有利于健步行走的)
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(1,0),B(4,0),交y轴于点C;
(1)求抛物线的解析式(用一般式表示);
(2)点D为y轴右侧抛物线上一点,是否存在点D使S△ABC=S△ABD?若存在,请求出点D坐标;若不存在,请说明理由;
(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°,与抛物线交于另一点E,求BE的长.
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【题目】对垃圾进行分类投放,能提高垃圾处理和再利用的效率,减少污染,保护环境.为了检查垃圾分类的落实情况,某居委会成立了甲、乙两个检查组,采取随机抽查的方式分别对辖区内的A,B,C,D四个小区进行检查,并且每个小区不重复检查.
(1)甲组抽到A小区的概率是多少;
(2)请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区,同时乙组抽到C小区的概率.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边上的一点,以AD为直径的⊙O交BC于点E,交AC于点F,过点C作CG⊥AB交AB于点G,交AE于点H,过点E的弦EP交AB于点Q(EP不是直径),点Q为弦EP的中点,连结BP,BP恰好为⊙O的切线.
(1)求证:BC是⊙O的切线.
(2)求证:=.
(3)若sin∠ABC═,AC=15,求四边形CHQE的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,双曲线与直线相交于点和B,过B点作轴于点C,连接AC,已知.
(1)求的值;
(2)延长AC交双曲线于另一点D,求D的的坐标.
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