Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA=2，点P，Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设PQ=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤ ， ＜x≤m时，函数的解析式不同）．

（1）填空：n的值为___；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，

，

当x=时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，

∵PQ=，QR=PQ，

∴QR=,

∴n=S=×（）2=×=．

（2）

解：如图2，

，

根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：

当0＜x≤时，

S=×PQ×RQ=x2，

当点Q点运动到点A时，

x=2AD=4，

∴m=4．

当＜x≤4时，

S=S△APF﹣S△AQE=APFG﹣AQEQ，

AP=2+，AQ=2﹣，

∵△AQE∽△AQ1R1，，

∴QE=（2﹣），

设FG=PG=a，

∵△AGF∽△AQ1R1，，

∴AG=2+﹣a，

∴a=（2），

∴S=S△APF﹣S△AQE

=APFG﹣AQEQ

=（2）（2）﹣（2﹣）（2﹣）

=﹣x2+

∴S=﹣x2+．

综上，可得

S=

【解析】（1）当x=时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，然后根据PQ= ， QR=PQ，求出n的值是多少即可．
（2）首先根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0＜x≤时，S=×PQ×RQ=x2 ， 判断出当点Q点运动到点A时，x=2AD=4，据此求出m=4；然后求出当＜x≤4时，S关于x的函数关系式即可．