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【题目】如图1ABCD是圆O的两条弦,交点为P.连接ADBC. OM ADONBC,垂足分别为MN.连接PMPN.

1 2

1)求证:ADP ∽△CBP

2)当ABCD时,探究PMOPNO的数量关系,并说明理由;

3)当ABCD时,如图2AD=8,BC=6, MON=120°,求四边形PMON的面积.

【答案】1)证明见解析;(2PMO=PNO,理由见解析;(3S平行四边形PMON=6

【解析】

1)利用同弧所对的圆周角相等即可证明相似,2)由OM ADONBC得到MNABCD的中点,再由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可解题,3)由三角形中位线性质得∠QBC=90°,进而证明∠QCB=PBD,得到四边形MONP为平行四边形即可解题.

1)因为同弧所对的圆周角相等,所以∠A=C, D=B,所以ADP∽△CBP.

2PMO=PNO

因为OM ADONBC

所以点MNABCD的中点,

ABCD

所以PM=AD,PN=BC

所以,A=APMC=CPN

所以∠AMP=CNP,得到PMOPNO.

3)连接CO并延长交圆O于点Q,连接BD.

因为ABCDAM=AD,CN=BC

所以PM=AD,PN=BC.

由三角形中位线性质得,ON=.

因为CQ为圆O直径,所以QBC=90°

Q+QCB=90°

DPB=90°,得PDB+PBD=90°,而PDB=Q

所以QCB=PBD,所以BQ=AD

所以PM=ON.

同理可得,PN=OM.所以四边形MONP为平行四边形.

S平行四边形PMON=6

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