Question

【题目】如图，平面直角坐标中，把矩形OABC沿对角线OB所在的直线折叠，点A落在点D处，OD与BC交于点E．OA、OC的长是关于x的一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根（OA＞OC）．

（1）求A、C的坐标．

（2）直接写出点E的坐标，并求出过点A、E的直线函数关系式．

（3）点F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以点O、B、P、F为顶点的四边形为菱形？若存在请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（6，0），C（0，3）；（2）E（，3），y＝﹣x+；（3）满足条件的点P坐标为（6﹣3，3）或（6+3，3）或（，3）或（6，﹣3）．

【解析】

（1）解方程求出OA、OC的长即可解决问题；
（2）首先证明EO＝EB，设EO＝EB＝x，在Rt△ECO中，EO2＝OC2＋CE2，构建方程求出x，可得点E坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（3）分情形分别求解即可解决问题；

（1）由x2﹣9x＋18＝0可得x＝3或6，

∵OA、OC的长是关于x的一元二次方程x2﹣9x＋18＝0的两个根（OA＞OC），

∴OA＝6，OC＝3，

∴A（6，0），C（0，3）．

（2）如图1中，

∵OA∥BC，

∴∠EBC＝∠AOB，

根据翻折不变性可知：∠EOB＝∠AOB，

∴∠EOB＝∠EBO，

∴EO＝EB，设EO＝EB＝x，

在Rt△ECO中，∵EO2＝OC2＋CE2，

∴x2＝32＋（6﹣x）2，

解得x＝，

∴CE＝BC﹣EB＝6﹣＝，

∴E（，3），

设直线AE的解析式为y＝kx＋b，则有，

解得，

∴直线AE的函数解析式为y＝﹣x＋．

（3）如图，OB＝＝3．

①当OB为菱形的边时，OF1＝OB＝BP1＝3＝，故P1（6﹣3，3），

OF3＝P3F3＝BP3＝3，故P3（6＋3，3）．

②当OB为菱形的对角线时，∵直线OB的解析式为y＝x，

∴线段OB的垂直平分线的解析式为y＝﹣2x＋，

可得P2（，3），

③当OF4问问对角线时，可得P4（6，﹣3）

综上所述，满足条件的点P坐标为（6﹣3，3）或（6＋3，3）或（，3）或（6，﹣3）．