【题目】定义:有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形,这两个角的夹边称为对半线.
(1)如图1,在对半四边形中,,求与的度数之和;
(2)如图2,为锐角的外心,过点的直线交,于点,,,求证:四边形是对半四边形;
(3)如图3,在中,,分别是,上一点,,,为的中点,,当为对半四边形的对半线时,求的长.
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【题目】如图1,AB、CD是圆O的两条弦,交点为P.连接AD、BC. OM⊥ AD,ON⊥BC,垂足分别为M、N.连接PM、PN.
图1 图2
(1)求证:△ADP ∽△CBP;
(2)当AB⊥CD时,探究PMO与PNO的数量关系,并说明理由;
(3)当AB⊥CD时,如图2,AD=8,BC=6, ∠MON=120°,求四边形PMON的面积.
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【题目】在平面直角坐标系中,点A(1,0),已知抛物线y=﹣x2+mx﹣2m(m是常数),顶点为P.
(1)当抛物线经过点A时,求顶点P坐标;
(2)等腰Rt△AOB,点B在第四象限,且OA=OB.当抛物线与线段OB有且仅有两个公共点时,求m满足的条件;
(3)无论m取何值,该抛物线都经过定点H.当∠AHP=45°,求此抛物线解析式.
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【题目】我省某工厂为全运会设计了一款成本每件20元的工艺品,投放市场试销后发现销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,当售价为23元/件时,每天销售量为790件;当售价为25元/件,每天销售量为750件.
(1)求y与x的函数关系;
(2)如果该工艺品最高不超过每件30元,那么售价定位每件多少元时,工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少元?
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【题目】在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起,为公共顶点,,若固定不动,绕点旋转,、与边的交点分别为、(点不与点重合,点不与点重合).
(1)求证:;
(2)在旋转过程中,试判断等式是否始终成立,若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
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【题目】如图,的半径为,是的直径,是上一点,连接、.为劣弧的中点,过点作,垂足为,交于点,,交的延长线于点.
(1)求证:是的切线;
(2)连接,若,如图2.
①求的长;
②图中阴影部分的面积等于_________.
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【题目】如图,点C将线段AB分成两部分,若AC2=BCAB(AC>BC),则称点C为线段AB的黄金分割点.某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金抛物线”,类似地给出“黄金抛物线”的定义:若抛物线y=ax2+bx+c,满足b2=ac(b≠0),则称此抛物线为黄金抛物线.
(Ⅰ)若某黄金抛物线的对称轴是直线x=2,且与y轴交于点(0,8),求y的最小值;
(Ⅱ)若黄金抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点P为(1,3),把它向下平移后与x轴交于A(+3,0),B(x0,0),判断原点是否是线段AB的黄金分割点,并说明理由.
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【题目】如图是抛物线的部分图象,其顶点为,与轴交于点,与轴的一个交点为,连接.以下结论:①;②抛物线经过点;③;④当时, .其中正确的是( )
A.①③B.②③C.①④D.②④
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【题目】如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD上的点,且AE=BF=CG=DH.
(1)求证:四边形EFGH是矩形;
(2)若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,且DG⊥AC,OF=2cm,求矩形ABCD的面积.
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