Question

【题目】如图，的半径为，是的直径，是上一点，连接、.为劣弧的中点，过点作，垂足为，交于点，，交的延长线于点.

（1）求证：是的切线；

（2）连接，若，如图2.

①求的长；

②图中阴影部分的面积等于_________.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①，②.

【解析】

（1）连接OC，利用等腰三角形三线合一的性质证得OC⊥BF，再根据CG∥FB即可证得结论；

（2）①根据已知条件易证得是等边三角形，利用三角函数可求得的长，根据三角形重心的性质即可求得答案；

②易证得，利用扇形的面积公式即可求得答案.

（1）连接.

是的中点，

.

又，

.

，

.

是的切线.

（2）①，

∴.

，

.

∴是等边三角形.

，，

又的半径为，

在中，,

∵BF⊥OC，CD⊥OB，BF与CD相交于E，点E是等边三角形OBC的垂心，也是重心和内心，

∴.

②∵AF∥BC，

∴

∴.